Calcule as integrais:
1
\int x^{2}\left[\operatorname{sen}\left(3 x^{3}\right)-x^{2}\right] d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{2}\bigl[\operatorname{sen}\bigl(3x^{3}\bigr)-x^{2}\bigr]\,dx.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função a integrar é x^{2}\bigl[\operatorname{sen}(3x^{3})-x^{2}\bigr].
  • Deve-se encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, um F(x) tal que F'(x) seja a função acima.

Passo 2

Usar a linearidade da integral para separar a expressão em duas integrais mais simples. A propriedade é: para funções f e g e constantes a,b,
\int \bigl(a f(x)+b g(x)\bigr)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Aplicando aqui:
\int x^{2}\bigl[\operatorname{sen}(3x^{3})-x^{2}\bigr]\,dx = \int x^{2}\operatorname{sen}(3x^{3})\,dx \;-\; \int x^{4}\,dx.
Chamemos a primeira integral de I_1 e a segunda de I_2:
I_1=\int x^{2}\operatorname{sen}(3x^{3})\,dx,\qquad I_2=\int x^{4}\,dx.

Passo 3

Calcular I_1=\int x^{2}\operatorname{sen}(3x^{3})\,dx por substituição (troca de variável).
Ideia da substituição: quando a integranda tem a forma f'(x)\cdot g(f(x)) ou algo que se reduz a isso, vale a pena pôr u=f(x). Aqui percebe-se que a derivada de 3x^{3} é 9x^{2}, portanto se fizermos u=3x^{3} conseguiremos substituir x^{2}\,dx.
Defina
u=3x^{3}.
Então
du = 9x^{2}\,dx \quad\Rightarrow\quad x^{2}\,dx=\frac{du}{9}.
Substituindo na integral,
I_1=\int x^{2}\operatorname{sen}(3x^{3})\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\,\frac{du}{9} = \frac{1}{9}\int \operatorname{sen}(u)\,du.
Sabendo que a primitiva de \operatorname{sen}(u) é -\cos(u) (porque \dfrac{d}{du}\cos(u)=-\sin(u)), temos
\frac{1}{9}\int \operatorname{sen}(u)\,du = \frac{1}{9}\bigl(-\cos(u)\bigr) + C_1 = -\frac{1}{9}\cos(u) + C_1.
Voltando a x (isto é, u=3x^{3}):
I_1 = -\frac{1}{9}\cos\bigl(3x^{3}\bigr) + C_1.

Passo 4

Calcular I_2=\int x^{4}\,dx usando a regra do poder (power rule). A regra é: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=4, então
I_2=\int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5} + C_2.
(Exemplo rápido para fixar: \int x^{2}\,dx = x^{3}/3 + C.)

Passo 5

Agora juntamos I_1 e I_2. A integral original vale I_1 - I_2. Substituindo os resultados encontrados e lembrando que as constantes C_1 e C_2 podem ser combinadas numa única constante arbitrária C, obtemos a primitiva final da função.

Resposta

-\dfrac{1}{9}\cos\bigl(3x^{3}\bigr)-\dfrac{x^{5}}{5}+C

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