Calcule as integrais:
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Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas e o que é pedido:
- A função a integrar é
. - Deve-se encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, um
tal que seja a função acima.
Passo 2
Usar a linearidade da integral para separar a expressão em duas integrais mais simples. A propriedade é: para funções
e
e constantes
,
Aplicando aqui:
Chamemos a primeira integral de
e a segunda de
:
Passo 3
Calcular
por substituição (troca de variável).
Ideia da substituição: quando a integranda tem a forma
ou algo que se reduz a isso, vale a pena pôr
. Aqui percebe-se que a derivada de
é
, portanto se fizermos
conseguiremos substituir
.
Defina
Então
Substituindo na integral,
Sabendo que a primitiva de
é
(porque
), temos
Voltando a
(isto é,
):
Passo 4
Calcular
usando a regra do poder (power rule). A regra é: para
,
Aqui
, então
(Exemplo rápido para fixar:
.)
Passo 5
Agora juntamos
e
. A integral original vale
. Substituindo os resultados encontrados e lembrando que as constantes
e
podem ser combinadas numa única constante arbitrária
, obtemos a primitiva final da função.