Resolva as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas (explicitadas):
- A função a integrar é
. - A variável de integração é
. - Quer-se uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, um
tal que seja a função integranda.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão dentro da integral usando regras de potências. Lembrando que
e
, temos:
Portanto a integral fica
Passo 3
Observação didática sobre método: quando vemos uma composição
elevada a uma potência e também aparece
multiplicando, é natural testar a substituição (trocar a parte interna por uma nova variável). Isso funciona porque a substituição é o “inverso” da regra da cadeia na diferenciação.
Proponho a substituição
Passo 4
Calculemos
. Derivando
em relação a
:
Logo a combinação
presente na integral é exatamente
.
Passo 5
Fazendo a troca de variáveis na integral:
passa a ser
e
passa a ser
. Assim obtemos uma integral em
bem simples:
Passo 6
Aplicamos a regra de potência para integrais: para
,
Aqui
, então
. Assim
Passo 7
Voltando à variável original, lembrando que
, obtém-se a primitiva em
substituindo
por
.
Passo 8
Exemplo rápido para fixar a ideia (mais simples, mesma técnica): para
, toma-se
, então
e a integral vira
, voltando:
. A lógica é idêntica à usada no problema principal.