Resolva as integrais abaixo:
\int e^{y} \sqrt{\left(2+e^{y}\right)^{3}} d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int e^{y} \sqrt{\left(2+e^{y}\right)^{3}}\,dy.
Informações dadas (explicitadas):
  • A função a integrar é e^{y}\sqrt{\left(2+e^{y}\right)^{3}}.
  • A variável de integração é y.
  • Quer-se uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, um F(y) tal que F'(y) seja a função integranda.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão dentro da integral usando regras de potências. Lembrando que \sqrt{A} = A^{1/2} e \left(A^{a}\right)^{b} = A^{ab}, temos:
\sqrt{\left(2+e^{y}\right)^{3}} = \left(2+e^{y}\right)^{3/2}.
Portanto a integral fica
\int e^{y}\left(2+e^{y}\right)^{3/2}\,dy.

Passo 3

Observação didática sobre método: quando vemos uma composição \left(2+e^{y}\right) elevada a uma potência e também aparece e^{y} multiplicando, é natural testar a substituição (trocar a parte interna por uma nova variável). Isso funciona porque a substituição é o “inverso” da regra da cadeia na diferenciação.
Proponho a substituição
u = 2 + e^{y}.

Passo 4

Calculemos du. Derivando u em relação a y:
du = \frac{d}{dy}(2+e^{y})\,dy = e^{y}\,dy.
Logo a combinação e^{y}\,dy presente na integral é exatamente du.

Passo 5

Fazendo a troca de variáveis na integral: (2+e^{y})^{3/2} passa a ser u^{3/2} e e^{y}\,dy passa a ser du. Assim obtemos uma integral em u bem simples:
\int u^{3/2}\,du.

Passo 6

Aplicamos a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{3}{2}, então n+1=\tfrac{5}{2}. Assim
\int u^{3/2}\,du = \frac{u^{5/2}}{5/2}+C = \frac{2}{5}\,u^{5/2}+C.

Passo 7

Voltando à variável original, lembrando que u=2+e^{y}, obtém-se a primitiva em y substituindo u por 2+e^{y}.

Passo 8

Exemplo rápido para fixar a ideia (mais simples, mesma técnica): para \int 2x(1+x^{2})^{3}\,dx, toma-se v=1+x^{2}, então dv=2x\,dx e a integral vira \int v^{3}\,dv=\tfrac{v^{4}}{4}+C, voltando: \tfrac{(1+x^{2})^{4}}{4}+C. A lógica é idêntica à usada no problema principal.

Resposta

\dfrac{2}{5}\left(2+e^{y}\right)^{5/2}+C

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