Encontre a área da região limitada pela parábola y=x^{2}+1, pela reta y=2 x e o eixo y

Passo 1

O enunciado pede a área da região fechada pela parábola
y = x^{2}+1,
pela reta
y = 2x
e pelo eixo y (ou seja, a reta x=0). O conteúdo é cálculo de área por integração em x.

Passo 2

Primeiro, determinamos onde a parábola e a reta se encontram resolvendo
x^{2}+1 = 2x
x^{2} - 2x + 1 = 0
(x-1)^{2} = 0
Logo, a interseção ocorre em x=1, com y=2. As outras interseções com o eixo y são: para x=0, a reta dá y=0 e a parábola dá y=1.

Passo 3

Ao esboçar, vemos que para 0\le x\le1 a reta y=2x está abaixo da parábola y=x^2+1. A região fica limitada abaixo por y_{\text{inf}}=2x e acima por y_{\text{sup}}=x^2+1.

Passo 4

A área A é dada por
A = \int_{0}^{1} \bigl[(x^{2}+1) - (2x)\bigr]\,dx = \int_{0}^{1} \bigl(x^{2} - 2x + 1\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculamos a integral:
\int \bigl(x^{2} - 2x + 1\bigr)\,dx = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + x + C.
Avaliado de 0 a 1:
\left(\frac{1^{3}}{3} - 1^{2} + 1\right) - (0) = \frac{1}{3} - 1 + 1 = \frac{1}{3}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \frac{1}{3}.

Exercícios relacionados