Calcule a área limitada pelas curvas y=x \cdot(x-2)^{2} e y=x.

Passo 1

O enunciado pede a área limitada pelas curvas
y = x\,(x-2)^{2}
e
y = x
ou seja, é um problema de “área entre duas curvas”. Para resolver, vamos:
  1. Encontrar os pontos de interseção.
  2. Verificar qual curva está acima em cada intervalo.
  3. Montar e calcular as integrais correspondentes.

Passo 2

Achamos as interseções resolvendo
x\,(x-2)^{2} = x.
Se x=0 já é solução. Para x\neq0, dividimos por x e obtemos
(x-2)^{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x-2 = \pm1 \quad\Longrightarrow\quad x=1\text{ ou }x=3.
Logo, os pontos de interseção são (0,0), (1,1) e (3,3).

Passo 3

Precisamos ver qual curva está acima em cada intervalo:
  • Em 0<x<1, por exemplo em x=0,5,
x\,(x-2)^{2} = 0{,}5\,( -1{,}5)^{2} = 1{,}125, \quad x = 0{,}5,
então x\,(x-2)^{2} > x.
  • Em 1<x<3, por exemplo em x=2,
x\,(x-2)^{2} = 2\cdot0^{2}=0, \quad x=2,
logo x > x\,(x-2)^{2}.

Passo 4

A área total é a soma de duas integrais:
\text{Área} = \int_{0}^{1}\bigl[x\,(x-2)^{2} - x\bigr]\,dx + \int_{1}^{3}\bigl[x - x\,(x-2)^{2}\bigr]\,dx.Á
Antes de integrar, simplificamos cada integrando:
  1. Para 0\le x\le1:
x\,(x-2)^{2} - x = x\bigl[(x-2)^{2}-1\bigr] = x\,(x^{2}-4x+3) = x^{3}-4x^{2}+3x.
  1. Para 1\le x\le3:
x - x\,(x-2)^{2} = x\bigl[1-(x-2)^{2}\bigr] = x\,(-x^{2}+4x-3) = -x^{3}+4x^{2}-3x.

Passo 5

Calculamos a primeira integral:
\int_{0}^{1}(x^{3}-4x^{2}+3x)\,dx = \bigl[\tfrac{1}{4}x^{4}-\tfrac{4}{3}x^{3}+\tfrac{3}{2}x^{2}\bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{4}-\tfrac{4}{3}+\tfrac{3}{2} = \tfrac{5}{12}.

Passo 6

Calculamos a segunda integral:
\int_{1}^{3}(-x^{3}+4x^{2}-3x)\,dx = \bigl[-\tfrac{1}{4}x^{4}+\tfrac{4}{3}x^{3}-\tfrac{3}{2}x^{2}\bigr]_{1}^{3} = \Bigl(\tfrac{9}{4}\Bigr)-\Bigl(-\tfrac{5}{12}\Bigr) = \tfrac{9}{4}+\tfrac{5}{12} = \tfrac{8}{3}.

Passo 7

Somando as duas áreas:
\text{Área total} = \tfrac{5}{12} + \tfrac{8}{3} = \tfrac{5}{12} + \tfrac{32}{12} = \tfrac{37}{12}.Á

Resposta

\displaystyle \frac{37}{12}

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