Esboce e calcule a área da região limitada pelo gráfico de f(x)=x^{3}+2 e sua reta tangente no ponto (1,3).

Passo 1

O enunciado nos pede para esboçar o gráfico de f(x)=x^3+2 e a reta tangente a f no ponto (1,3), e em seguida calcular a área da região limitada por essas duas curvas. Vamos usar derivada para obter a reta tangente e depois integrar a diferença entre as funções para achar a área.

Passo 2

Primeiro encontramos a derivada de f, que dá o coeficiente angular da reta tangente:
f'(x)=3x^2.
Em x=1 temos f'(1)=3, e como f(1)=1^3+2=3 a equação da reta tangente em (1,3) é
y = f'(1)\,(x-1) + f(1) = 3(x-1)+3 = 3x.

Passo 3

Para achar os pontos de interseção resolvemos
x^3+2 = 3x \quad\Longrightarrow\quad x^3 - 3x + 2 = 0.
Fatorando x^3 -3x+2 = (x-1)^2(x+2), vemos as raízes x=1 (multiplicidade 2) e x=-2. Logo as curvas se cruzam em x=-2 e em x=1.

Passo 4

No intervalo de x=-2 até x=1 avaliamos o sinal de
f(x) - \text{reta}(x) = x^3+2 - 3x = x^3 - 3x + 2.
Por exemplo em x=0 temos 0-0+2>0, então f(x) fica acima da reta. A área procurada é
\int_{-2}^{1} \bigl[f(x) - (3x)\bigr]\,dx = \int_{-2}^{1} \bigl(x^3 -3x +2\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculamos a primitiva:
\int \bigl(x^3 -3x +2\bigr)\,dx = \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 2x.
Avaliar de -2 a 1:
\Bigl[\frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 2x\Bigr]_{-2}^{1} = \Bigl(\tfrac{1}{4} - \tfrac{3}{2} + 2\Bigr) - \Bigl(4 - 6 - 4\Bigr) = \tfrac{3}{4} - (-6) = \tfrac{3}{4} + 6 = \tfrac{27}{4}.

Resposta

A área da região limitada é \tfrac{27}{4}.

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