Esboce e calcule a área da região limitada pelo gráfico de
e sua reta tangente no ponto
.
Passo 1
O enunciado nos pede para esboçar o gráfico de
e a reta tangente a
no ponto
, e em seguida calcular a área da região limitada por essas duas curvas. Vamos usar derivada para obter a reta tangente e depois integrar a diferença entre as funções para achar a área.
Passo 2
Primeiro encontramos a derivada de
, que dá o coeficiente angular da reta tangente:
Em
temos
, e como
a equação da reta tangente em
é
Passo 3
Para achar os pontos de interseção resolvemos
Fatorando
, vemos as raízes
(multiplicidade 2) e
. Logo as curvas se cruzam em
e em
.
Passo 4
No intervalo de
até
avaliamos o sinal de
Por exemplo em
temos
, então
fica acima da reta. A área procurada é
Passo 5
Calculamos a primitiva:
Avaliar de
a
:
Resposta
A área da região limitada é
.