Encontre a área da região limitada pela parábola y=x^{2}+1, pela reta y=2 x e o eixo y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região limitada pela parábola y = x^{2} + 1, pela reta y = 2x e pelo eixo y (isto é, x=0). Para isso, vamos:
  1. Encontrar onde a parábola e a reta se intersectam.
  2. Determinar, no intervalo relevante, qual curva está acima da outra.
  3. Montar a integral da diferença entre as funções, de x=0 até o ponto de interseção.

Passo 2

Para achar a interseção entre y = x^{2} + 1 e y = 2x, igualamos:
x^{2} + 1 = 2x
x^{2} - 2x + 1 = 0
(x - 1)^{2} = 0
Logo, o ponto de interseção é x = 1 (com mesmo valor de y = 2).

Passo 3

No intervalo de x=0 até x=1, comparemos os valores:
  • Para x=0, a reta vale y=0 e a parábola vale y=1.
  • Para x entre 0 e 1 a parábola x^{2}+1 permanece acima da reta 2x, encontrando-se apenas no mesmo ponto em x=1.
    Portanto, a função superior é y_{\text{top}} = x^{2}+1 e a inferior é y_{\text{bot}} = 2x.

Passo 4

A área pedida é dada pela integral da diferença entre as curvas, de x=0 a x=1:
A = \int_{0}^{1} \bigl((x^{2} + 1) - 2x\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculando a integral:
A = \int_{0}^{1} \bigl(x^{2} - 2x + 1\bigr)\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + x\right]_{0}^{1} = \bigl(\tfrac{1}{3} - 1 + 1\bigr) - 0 = \frac{1}{3}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \frac{1}{3}.

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