Encontre a área da região limitada por y=3 x \sqrt{4-x^{2}}, x=0, x=2 e y=0.
Dica 1: use a substituição x=2 \operatorname{sen} \theta ou u=4-x^{2}.
Dica 2: Se pertinente, revise/leia a Seção 6.1 do Stewart (Área entre curvas), as suas notas de Cálculo 1 sobre substituição, a Seção 5.5 (Regra de substituição) do Stewart, e as notas e vídeo-aulas sobre “integração por substituição” do Prof. Wagner ou do Prof. Pedrosa (disponíveis no Moodle).
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 . e portanto escreva
  • 0.0166666 para representar " 5 / 300 "
  • ou 13.07976 para representar 2 \ln (10)+3 \pi\left(9-e^{2}\right)-3 \sqrt{5}=13.0797548283 \ldots (que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) " 2 * \ln (10)+3^{*} p i^{*}(9-\exp (2))-3^{*} s q r t(5) " diretamente no Google por exemplo)
Entre aqui o valor da integral \square

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada por y=3x\sqrt{4-x^2}, x=0, x=2 e y=0. Pelo conceito de área entre curvas, basta calcular
A=\int_{0}^{2}3x\sqrt{4-x^2}\,dx.

Passo 2

Para avaliar \displaystyle \int_{0}^{2}3x\sqrt{4-x^2}\,dx, use a substituição
u=4-x^2,\quad du=-2x\,dx\quad\Longrightarrow\quad x\,dx=-\tfrac12\,du.
Quando x=0, u=4; quando x=2, u=0. Assim,
A =3\int_{0}^{2}x\sqrt{4-x^2}\,dx =3\int_{u=4}^{0}\sqrt{u}\,\bigl(-\tfrac12\,du\bigr) =\tfrac32\int_{0}^{4}u^{1/2}\,du.

Passo 3

Calcule a integral de u^{1/2}:
\int_{0}^{4}u^{1/2}\,du =\left.\frac{2}{3}u^{3/2}\right|_{0}^{4} =\frac{2}{3}\cdot4^{3/2} =\frac{2}{3}\cdot8 =\frac{16}{3}.
Logo,
A=\tfrac32\cdot\frac{16}{3}=8.

Resposta

8.0000000

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