I=\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
I = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx.
O conteúdo necessário envolve técnicas de álgebra em integrais (quebra do numerador) e integrais padrão do tipo \int\sqrt{x^2+1}\,dx e \int\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\,dx.

Passo 2

Vamos reescrever o integrando em termos de x^2+1. Note que
x^{2} = (x^{2}+1) - 1.
Logo,
\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}} = \frac{x^{2}+1}{\sqrt{x^{2}+1}} - \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} = \sqrt{x^{2}+1} - \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Assim,
I = \int \sqrt{x^{2}+1}\,dx \;-\;\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx.

Passo 3

Para a primeira integral padrão, usa-se a substituição hiperbólica x=\operatorname{sinh} t, de modo que dx=\operatorname{cosh} t\,dt e \sqrt{x^{2}+1}=\operatorname{cosh} t. Então
\int \sqrt{x^{2}+1}\,dx = \int \operatorname{cosh} t\cdot\operatorname{cosh} t\,dt = \int \operatorname{cosh}^{2}t\,dt.
Como \operatorname{cosh}^{2}t = \tfrac{1+\operatorname{cosh}(2t)}{2}, obtemos
\int \operatorname{cosh}^{2}t\,dt = \frac{1}{2}\int (1+\operatorname{cosh}(2t))\,dt = \frac{t}{2} + \frac{\operatorname{sinh}(2t)}{4} + C_{1}.
Voltando a x: t=\operatorname{arsinh}(x) e \operatorname{sinh}(2t)=2\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t=2x\sqrt{x^2+1}. Logo
\int \sqrt{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\,\operatorname{arsinh}(x) + \frac{1}{4}\,2x\sqrt{x^2+1} + C_{1} = \frac{x\sqrt{x^2+1}}{2} + \frac{1}{2}\,\operatorname{arsinh}(x) + C_{1}.

Passo 4

A segunda integral é direta:
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx = \operatorname{arsinh}(x) + C_{2},
pois \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arsinh}(x)\bigr)=1/\sqrt{x^2+1}.

Passo 5

Substituindo no passo 2 e reunindo as constantes em C, temos
I = \Bigl(\frac{x\sqrt{x^2+1}}{2} + \frac{1}{2}\,\operatorname{arsinh}(x)\Bigr) \;-\;\operatorname{arsinh}(x) + C = \frac{x\sqrt{x^2+1}}{2} - \frac{1}{2}\,\operatorname{arsinh}(x) + C.
Lembrando que \operatorname{arsinh}(x)=\ln\bigl(x+\sqrt{x^2+1}\bigr), podemos também escrever
I = \frac{x\sqrt{x^2+1}}{2} - \frac{1}{2}\ln\bigl(x+\sqrt{x^2+1}\bigr) + C.

Resposta

\boxed{\,\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx = \frac{x\sqrt{x^2+1}}{2} - \frac{1}{2}\ln\bigl(x+\sqrt{x^2+1}\bigr) + C.}

Exercícios relacionados