I=\int \sqrt{9-x^{2}} d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral indefinida
I = \int \sqrt{9 - x^{2}}\;dx.
O conteúdo principal é integração de funções do tipo \sqrt{a^{2}-x^{2}}, e vamos usar a substituição trigonométrica adequada.

Passo 2

Fazemos a troca
x = 3\sin(u), \quad dx = 3\cos(u)\,du, \quad \sqrt{9 - x^{2}} = \sqrt{9 - 9\sin^{2}(u)} = 3\cos(u).
Assim
I = \int \bigl(3\cos(u)\bigr)\bigl(3\cos(u)\,du\bigr) = 9 \int \cos^{2}(u)\,du.

Passo 3

Usamos a identidade \cos^{2}(u)=\tfrac{1+\cos(2u)}{2}, então
I = 9 \int \frac{1+\cos(2u)}{2}\,du = \frac{9}{2} \int \bigl(1 + \cos(2u)\bigr)\,du.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int 1\,du = u, \quad \int \cos(2u)\,du = \frac{\sin(2u)}{2}.
Logo
I = \frac{9}{2}\Bigl(u + \tfrac{1}{2}\sin(2u)\Bigr) + C = \frac{9}{2}u + \frac{9}{4}\sin(2u) + C.

Passo 5

Retornamos a x:
u = \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr), \quad \sin(2u) = 2\sin(u)\cos(u) = 2\cdot\frac{x}{3}\cdot\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{3} = \frac{2x\sqrt{9 - x^{2}}}{9}.
Substituindo em I:
I = \frac{9}{2}\arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) + \frac{9}{4}\cdot\frac{2x\sqrt{9 - x^{2}}}{9} + C = \frac{9}{2}\arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) + \frac{x}{2}\sqrt{9 - x^{2}} + C.

Resposta

I = \frac{x}{2}\sqrt{9 - x^{2}} + \frac{9}{2}\arcsin\!\bigl(\frac{x}{3}\bigr) + C.

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