Encontre a área da região limitada por x=4-y^2 e pelo eixo y.

Passo 1

A questão pede para achar a área da região limitada pela curva x = 4 - y^2 e pelo eixo y. O conteúdo envolvido é cálculo de área por integração em relação a y e precisamos encontrar as interseções da curva com o eixo y.

Passo 2

Para descobrir onde a curva cruza o eixo y (onde x = 0), resolvemos 4 - y^2 = 0, obtendo y = pm 2. Entre y = -2 e y = 2, a região é limitada à esquerda pelo eixo y ( x = 0) e à direita pela curva x = 4 - y^2. A largura em cada posição y é (4 - y^2) - 0 = 4 - y^2.

Passo 3

Montamos a integral da área em relação a y:
A = integraly=-2^y=2 (4 - y^2),dy A antiderivada de 4 - y^2 é
F(y) = 4y - y^33

Passo 4

Avaliando entre -2 e 2:
F(2) = 4cdot2 - 2^33 = 8 - 83 = 163,
F(-2) = 4cdot(-2) - (-2)^33 = -8 + 83 = -163 A diferença F(2) - F(-2) dá a área:
A = 163 - l(-163r) = 323

Resposta

323

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