Nos problemas de 25 a 36 , calcule a derivada de cada função.
k(u)=(u^2+7)^2 raiz1-u

Passo 1

O enunciado pede a derivada de k(u)=(u^2+7)^2raiz1-u. O conteúdo envolvido é derivação de produto de funções e de funções compostas, então vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a raiz como uma potência para facilitar a derivação. Definimos:
f(u)=(u^2+7)^2, g(u)=(1-u)^1/2
Então k(u)=f(u)g(u).

Passo 3

Pela regra do produto, a derivada é
k'(u)=f'(u)g(u)+f(u)g'(u)

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para f(u)=(u^2+7)^2. Temos uma função externa h(t)=t^2 e interna t=u^2+7. Logo:
f'(u)=2igl(u^2+7r), racddu(u^2+7)=2(u^2+7) imes 2u=4u(u^2+7) 

Passo 5

Em seguida derivamos g(u)=(1-u)^1/2. De novo, função externa r(t)=t^1/2 e interna t=1-u. Assim:
g'(u)= frac12(1-u)^-1/2 imes racddu(1-u)= frac12(1-u)^-1/2 imes(-1)=- frac12(1-u)^-1/2

Passo 6

Substituindo em k'(u)=f'g+fg' obtemos:
k'(u)=4u(u^2+7)(1-u)^1/2-(u^2+7)^2 rac12(1-u)^-1/2

Passo 7

Para simplificar, fatoramos (u^2+7)(1-u)^-1/2:
Dentro dos colchetes:
k'(u)=(u^2+7)(1-u)^-1/2)igl[4u(1-u)- frac12(u^2+7)r]

Passo 8

Portanto
k'(u)=-(u^2+7) rac9u^2-8u+72(1-u)^-1/2=- rac(u^2+7)(9u^2-8u+7)2raiz1-u

Resposta

-tfrac(u^2+7)(9u^2-8u+7)2raiz1-u

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