Nos problemas de 25 a 36 , calcule a derivada de cada função.
g(z)=raiz5-z^2(z^2+3)^4

Passo 1

A função dada é g(z)=raiz5-z^2,(z^2+3)^4. Vamos derivá-la usando a regra do produto, a regra da cadeia e a regra do expoente.

Passo 2

É mais fácil trabalhar se escrevemos tudo como potências. Temos então
g(z)=(5 - z^2)^1/2,(z^2+3)^4
Aqui “produto” aparece de duas funções em potências.

Passo 3

Pela regra do produto, se g(z)=f(z),h(z), então
g'(z)=f'(z),h(z)+f(z),h'(z)
Aqui
$$f(z)=(5 - z{2}){1/2},\quad h(z)=(z{2}+3){4}.
$$

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para cada derivada parcial:
  • Para f(z)=(5 - z^2)^1/2, a derivada é
f'(z)=12(5 - z^2)^-1/2cdot(-2z)=-z,(5 - z^2)^-1/2
  • Para h(z)=(z^2+3)^4, a derivada é
h'(z)=4(z^2+3)^3cdot2z=8z,(z^2+3)^3

Passo 5

Substituindo na regra do produto, obtemos
g'(z)=-z,(5 - z^2)^-1/2,(z^2+3)^4+(5 - z^2)^1/2,l(8z,(z^2+3)^3r)

Passo 6

Para simplificar, fatoramos z,(z^2+3)^3 de ambos os termos:
g'(z)=z,(z^2+3)^3l[-(z^2+3)(5 - z^2)^-1/2+8(5 - z^2)^1/2r]

Passo 7

Dentro do colchete, colocamos no mesmo denominador (5 - z^2)^1/2 e somamos:
-(z^2+3)+8(5 - z^2)= -z^2-3+40-8z^2=37-9z^2
Então o colchete vira
$$(37-9z^{2})(5 - z{2}){-1/2}.
$$

Passo 8

Juntando tudo, a derivada final fica
g'(z)=z,(37-9z^2),(z^2+3)^3,(5 - z^2)^-1/2

Resposta

g'(z)=z,(37-9z^2),(z^2+3)^3raiz5-z^2.

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