Determine o valor de k de modo que
\int_{k}^{5} \frac{6}{2 x+3} d x=1.103174340376

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de k tal que
\int_{k}^{5} \frac{6}{2x+3}\,dx \;=\; 1.103174340376.
O conteúdo envolvido é a integração de uma função do tipo \tfrac{1}{ax+b}, cuja antiderivada é um logaritmo.

Passo 2

Vamos achar a antiderivada de \frac{6}{2x+3}. Usando
\int \frac{1}{2x+3}\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl|2x+3\bigr| + C,
multiplicamos por 6:
\int \frac{6}{2x+3}\,dx = 6 \cdot \frac{1}{2}\ln\bigl|2x+3\bigr| + C = 3\,\ln\bigl|2x+3\bigr| + C.

Passo 3

Aplicando o teorema fundamental do cálculo no limite de k a 5,
\int_{k}^{5} \frac{6}{2x+3}\,dx = 3\Bigl[\ln\bigl(2\cdot5+3\bigr)-\ln\bigl(2k+3\bigr)\Bigr] = 3\,\ln\!\Bigl(\frac{13}{2k+3}\Bigr).
Portanto a condição do enunciado vira
3\,\ln\!\Bigl(\frac{13}{2k+3}\Bigr) = 1.103174340376.

Passo 4

Dividindo por 3,
\ln\!\Bigl(\frac{13}{2k+3}\Bigr) = \frac{1.103174340376}{3} \approx 0.3677247801253333.
Exponenciando,
\frac{13}{2k+3} = e^{0.3677247801253333} \approx \frac{13}{9},
de onde
2k+3 = 9 \quad\Longrightarrow\quad k = 3.

Resposta

k = 3

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