Encontre a área da região
que está no interior de
e no exterior à
, via integração dupla. Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede a área da região poligonal R que fica por dentro do cardioide
e por fora do círculo
. Vamos usar coordenadas polares e a fórmula de área em polares, que é
.
Passo 2
Precisamos descobrir para quais valores de
o círculo
está dentro do interior do cardioide. Igualando
achamos
daí
Passo 3
Então, para
entre
e
, o raio varia de
até
. Montamos a integral dupla:
Passo 4
Integramos em
primeiro:
Passo 5
Expandindo
, o integrando em
fica
Passo 6
Agora integramos em
:
Passo 7
Fazendo a primitiva
e avaliando de
a
, obtemos
Passo 8
Como área é positiva, escrevemos
Passo 9
Para esboçar: o cardioide tem forma de coração voltado para a esquerda, e o círculo de raio 3 engloba a parte direita do cardiode. A região R é a “fatia” entre essas duas curvas de
a
.