Encontre a área da região R que está no interior de r=2-2 cos theta e no exterior à r=3, via integração dupla. Esboce o gráfico.

Passo 1

O enunciado pede a área da região poligonal R que fica por dentro do cardioide r = 2 - 2costheta e por fora do círculo r = 3. Vamos usar coordenadas polares e a fórmula de área em polares, que é A = integral duplaR r,dr,dtheta.

Passo 2

Precisamos descobrir para quais valores de theta o círculo r=3 está dentro do interior do cardioide. Igualando 2 - 2costheta = 3 achamos
2 - 2costheta = 3 implies costheta = -12
daí
theta = 2pi3, theta = 4pi3

Passo 3

Então, para theta entre 2pi/3 e 4pi/3, o raio varia de r=3 até r = 2 - 2costheta. Montamos a integral dupla:
A = integraltheta=2pi/3^4pi/3 integralr=3^2-2costheta r,dr,dtheta

Passo 4

Integramos em r primeiro:
integral3^2-2costheta r,dr = 12l[(2-2costheta)^2 - 3^2r]

Passo 5

Expandindo (2-2costheta)^2 = 4(1 - costheta)^2 = 6 - 8costheta + 2cos2theta, o integrando em theta fica
12l[6 - 8costheta + 2cos2theta - 9r] = 12l[-3 - 8costheta + 2cos2thetar]

Passo 6

Agora integramos em theta:
A = 12 integral2pi/3^4pi/3 l(-3 - 8costheta + 2cos2thetar) dtheta

Passo 7

Fazendo a primitiva -3to -3theta,; -8costhetato -8sintheta,; 2cos2thetato sin2theta e avaliando de 2pi/3 a 4pi/3, obtemos
A = 12l[-2pi + 9raiz3r] = -pi + 9raiz32

Passo 8

Como área é positiva, escrevemos
A = 9raiz32 - pi

Passo 9

Para esboçar: o cardioide tem forma de coração voltado para a esquerda, e o círculo de raio 3 engloba a parte direita do cardiode. A região R é a “fatia” entre essas duas curvas de 2pi/3 a 4pi/3.

Resposta

A = 9raiz32 - pi

Exercícios relacionados