Encontre a área sob o gráfico de y=\frac{1}{(x+1)^{2}} para x \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a área sob o gráfico de y=\dfrac{1}{(x+1)^{2}} para x\leq 1. Informações importantes extraídas do enunciado e da função:
  • A função é y=\dfrac{1}{(x+1)^{2}}.
  • Queremos a área para todos os x tais que x\leq 1, isto é, sobre o intervalo (-\infty,1].
  • Note que a função não está definida em x=-1 (há uma assíntota vertical em x=-1), portanto o intervalo (-\infty,1] contém uma descontinuidade interior. Isso indica que teremos que tratar a área como uma integral imprópria e provavelmente dividir o intervalo em duas partes: (-\infty,-1) e (-1,1].

Passo 2

Transformando o pedido de “área sob o gráfico” em integral: a área pedida é dada pela integral imprópria
\int_{-\infty}^{1}\frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx.
Por causa da descontinuidade em x=-1 devemos escrever essa integral como soma de duas integrais impróprias:
\int_{-\infty}^{1}\frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx = \int_{-\infty}^{-1}\frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx + \int_{-1}^{1}\frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx.
Cada uma destas integrais será entendida como limite (definição de integral imprópria).

Passo 3

Precisamos de uma primitiva de \dfrac{1}{(x+1)^{2}}. Observe que
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{x+1}\right) = -\left(-1\right)(x+1)^{-2} = \frac{1}{(x+1)^{2}}.
Logo uma primitiva é -\dfrac{1}{x+1}. Irei usar essa primitiva para avaliar as integrais como limites.

Passo 4

Calculemos a integral do trecho (-1,1]. Defina a com -1<a<1 e depois faça a\to -1^{+}:
\int_{-1}^{1}\frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx = \lim_{a\to -1^{+}}\int_{a}^{1}\frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx = \lim_{a\to -1^{+}}\left[-\frac{1}{x+1}\right]_{x=a}^{x=1}.
Avaliaremos a expressão:
\left[-\frac{1}{x+1}\right]_{a}^{1} = -\frac{1}{1+1} -\left(-\frac{1}{a+1}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{a+1}.
Ao fazer a\to -1^{+} temos a+1\to 0^{+}, então \dfrac{1}{a+1}\to +\infty. Portanto
\int_{-1}^{1}\frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx = +\infty,
ou seja, essa integral diverge.

Passo 5

Para ser completo, calculemos também o trecho (-\infty,-1). Defina b com b<-1 e faça b\to -1^{-}:
\int_{-\infty}^{-1}\frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx = \lim_{R\to -\infty}\lim_{b\to -1^{-}}\int_{R}^{b}\frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx = \lim_{b\to -1^{-}}\left[-\frac{1}{x+1}\right]_{x=-\infty}^{x=b}.
Avaliação:
\left[-\frac{1}{x+1}\right]_{-\infty}^{b} = -\frac{1}{b+1} - \lim_{R\to -\infty}\left(-\frac{1}{R+1}\right) = -\frac{1}{b+1} - 0 = -\frac{1}{b+1}.
Como b\to -1^{-} temos b+1\to 0^{-}, portanto -\dfrac{1}{b+1}\to +\infty. Assim
\int_{-\infty}^{-1}\frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx = +\infty.

Passo 6

Cada uma das parcelas da integral sobre (-\infty,1] diverge para +\infty. Portanto a integral imprópria total
\int_{-\infty}^{1}\frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx
não converge; em termos de área geométrica, a área sob o gráfico para x\leq 1 é ilimitada (infinita). Intuição rápida: perto de x=-1 a função se comporta como \dfrac{1}{t^{2}} com t=x+1\to 0; a integral de 1/t^{2} perto de zero diverge como 1/t, acumulando área infinita.

Resposta

A área é infinita (a integral imprópria \displaystyle\int_{-\infty}^{1}\frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx diverge para +\infty).

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