Encontre a área sob o gráfico de
para
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a área sob o gráfico de
para
. Informações importantes extraídas do enunciado e da função:
- A função é
. - Queremos a área para todos os
tais que , isto é, sobre o intervalo . - Note que a função não está definida em
(há uma assíntota vertical em ), portanto o intervalo contém uma descontinuidade interior. Isso indica que teremos que tratar a área como uma integral imprópria e provavelmente dividir o intervalo em duas partes: e .
Passo 2
Transformando o pedido de “área sob o gráfico” em integral: a área pedida é dada pela integral imprópria
Por causa da descontinuidade em
devemos escrever essa integral como soma de duas integrais impróprias:
Cada uma destas integrais será entendida como limite (definição de integral imprópria).
Passo 3
Precisamos de uma primitiva de
. Observe que
Logo uma primitiva é
. Irei usar essa primitiva para avaliar as integrais como limites.
Passo 4
Calculemos a integral do trecho
. Defina
com
e depois faça
:
Avaliaremos a expressão:
Ao fazer
temos
, então
. Portanto
ou seja, essa integral diverge.
Passo 5
Para ser completo, calculemos também o trecho
. Defina
com
e faça
:
Avaliação:
Como
temos
, portanto
. Assim
Passo 6
Cada uma das parcelas da integral sobre
diverge para
. Portanto a integral imprópria total
não converge; em termos de área geométrica, a área sob o gráfico para
é ilimitada (infinita). Intuição rápida: perto de
a função se comporta como
com
; a integral de
perto de zero diverge como
, acumulando área infinita.
Resposta
A área é infinita (a integral imprópria
diverge para
).