Verifique se a relação dada é de equivalência sobre o conjunto A. Descreva, quando for o caso, os conjuntos quocientes (partições) associados às relações.
x \mathcal{R}_{4} y \Leftrightarrow x^{2}=y^{2} em A=\mathbb{Z}.

Passo 1

O enunciado dá a relação
x\mathcal{R}_{4}y \Leftrightarrow x^{2}=y^{2}
no conjunto A=\mathbb{Z}. As perguntas que precisamos responder são:
  1. Verificar se \mathcal{R}_{4} é uma relação de equivalência em A.
  2. Quando for equivalência, descrever os conjuntos quocientes (a partição de A determinada por \mathcal{R}_{4}).
Dados relevantes: o domínio é A=\mathbb{Z} (conjunto dos inteiros) e a regra de equivalência é a igualdade dos quadrados: dois inteiros são relacionados exatamente quando seus quadrados coincidem.

Passo 2

Lembrando, de forma bem didática, o que precisamos checar para que uma relação seja de equivalência:
  • Reflexiva: para todo x\in A deve valer x\mathcal{R}_{4}x.
  • Simétrica: se x\mathcal{R}_{4}y então deve valer y\mathcal{R}_{4}x.
  • Transitiva: se x\mathcal{R}_{4}y e y\mathcal{R}_{4}z então deve valer x\mathcal{R}_{4}z.
Vou testar cada uma dessas propriedades passo a passo, explicando por quê cada uma vale (ou não).

Passo 3

Verificação da reflexividade.
Tomemos um x\in\mathbb{Z}. Temos sempre
x^{2}=x^{2},
que é uma verdade óbvia da igualdade. Portanto x\mathcal{R}_{4}x para todo x\in\mathbb{Z}. Assim, \mathcal{R}_{4} é reflexiva.
(Explicação curta: reflexividade é só afirmar que todo elemento está relacionado consigo mesmo — aqui porque seu quadrado é igual ao seu próprio quadrado.)

Passo 4

Verificação da simetria.
Suponha x\mathcal{R}_{4}y. Por definição isso significa x^{2}=y^{2}. Mas a igualdade de números é simétrica: se x^{2}=y^{2} então também y^{2}=x^{2}. Logo y\mathcal{R}_{4}x. Portanto \mathcal{R}_{4} é simétrica.
(Explicação curta: simetria é imediata porque a definição usa igualdade, que já é simétrica.)

Passo 5

Verificação da transitividade.
Suponha x\mathcal{R}_{4}y e y\mathcal{R}_{4}z. Então x^{2}=y^{2} e y^{2}=z^{2}. Pela transitividade da igualdade obtemos x^{2}=z^{2}, isto é x\mathcal{R}_{4}z. Portanto \mathcal{R}_{4} é transitiva.
(Explicação curta: novamente, como a relação se baseia em igualdade de quadrados, a transitividade segue direto.)

Passo 6

Conclusão das propriedades.
Como \mathcal{R}_{4} é reflexiva, simétrica e transitiva, concluímos que \mathcal{R}_{4} é uma relação de equivalência em A=\mathbb{Z}.

Passo 7

Determinação das classes de equivalência (ideia principal).
Queremos descrever, para cada x\in\mathbb{Z}, o conjunto
[x]=\{\,y\in\mathbb{Z}\mid y\mathcal{R}_{4}x\,\}=\{\,y\in\mathbb{Z}\mid y^{2}=x^{2}\,\}.
Resolvendo a equação y^{2}=x^{2} em \mathbb{Z} podemos fatorar:
y^{2}-x^{2}=(y-x)(y+x)=0.
Pela propriedade do produto nulo em \mathbb{Z}, temos y-x=0 ou y+x=0. Assim y=x ou y=-x. Portanto os únicos inteiros com o mesmo quadrado de x são x e -x.

Passo 8

Descrição explícita das classes e da partição.
  • Se x=0, então -x=0 e a classe é
[0]=\{0\}.
  • Se x\neq 0, então a classe é
[x]=\{x,-x\}.
Observações úteis:
  • Para x\neq 0 temos [x]=[-x] (porque os dois representam o mesmo par de opostos).
  • Se |m|\neq |n| então [m]\cap[n]=\varnothing. Assim as classes são disjuntas.
  • A união de todas as classes é todo \mathbb{Z}. Logo essas classes formam uma partição de \mathbb{Z}.
Portanto a partição (conjunto quociente) é
\{\{0\}\}\cup\{\{n,-n\}\mid n\in\mathbb{Z},\; n>0\},
ou, escrito de maneira intuitiva,
\big\{\{0\},\{1,-1\},\{2,-2\},\{3,-3\},\ldots\big\}.

Resposta

Sim: \mathcal{R}_{4} é uma relação de equivalência em A=\mathbb{Z}.\nAs classes de equivalência são [0]=\{0\} e, para n\in\mathbb{Z} com n>0, [n]=\{n,-n\}; portanto o conjunto quociente é \{\{0\}\}\cup\{\{n,-n\}\mid n\in\mathbb{Z},\;n>0\}.

Exercícios relacionados