Verifique se a relação dada é de equivalência sobre o conjunto
. Descreva, quando for o caso, os conjuntos quocientes (partições) associados às relações.
em
.
Passo 1
O enunciado dá a relação
no conjunto
. As perguntas que precisamos responder são:
- Verificar se
é uma relação de equivalência em . - Quando for equivalência, descrever os conjuntos quocientes (a partição de
determinada por ).
Dados relevantes: o domínio é
(conjunto dos inteiros) e a regra de equivalência é a igualdade dos quadrados: dois inteiros são relacionados exatamente quando seus quadrados coincidem.
Passo 2
Lembrando, de forma bem didática, o que precisamos checar para que uma relação seja de equivalência:
- Reflexiva: para todo
deve valer . - Simétrica: se
então deve valer . - Transitiva: se
e então deve valer .
Vou testar cada uma dessas propriedades passo a passo, explicando por quê cada uma vale (ou não).
Passo 3
Verificação da reflexividade.
Tomemos um
. Temos sempre
que é uma verdade óbvia da igualdade. Portanto
para todo
. Assim,
é reflexiva.
(Explicação curta: reflexividade é só afirmar que todo elemento está relacionado consigo mesmo — aqui porque seu quadrado é igual ao seu próprio quadrado.)
Passo 4
Verificação da simetria.
Suponha
. Por definição isso significa
. Mas a igualdade de números é simétrica: se
então também
. Logo
. Portanto
é simétrica.
(Explicação curta: simetria é imediata porque a definição usa igualdade, que já é simétrica.)
Passo 5
Verificação da transitividade.
Suponha
e
. Então
e
. Pela transitividade da igualdade obtemos
, isto é
. Portanto
é transitiva.
(Explicação curta: novamente, como a relação se baseia em igualdade de quadrados, a transitividade segue direto.)
Passo 6
Conclusão das propriedades.
Como
é reflexiva, simétrica e transitiva, concluímos que
é uma relação de equivalência em
.
Passo 7
Determinação das classes de equivalência (ideia principal).
Queremos descrever, para cada
, o conjunto
Resolvendo a equação
em
podemos fatorar:
Pela propriedade do produto nulo em
, temos
ou
. Assim
ou
. Portanto os únicos inteiros com o mesmo quadrado de
são
e
.
Passo 8
Descrição explícita das classes e da partição.
- Se
, então e a classe é
- Se
, então a classe é
Observações úteis:
- Para
temos (porque os dois representam o mesmo par de opostos). - Se
então . Assim as classes são disjuntas. - A união de todas as classes é todo
. Logo essas classes formam uma partição de .
Portanto a partição (conjunto quociente) é
ou, escrito de maneira intuitiva,
Resposta
Sim:
é uma relação de equivalência em
.\nAs classes de equivalência são
e, para
com
,
; portanto o conjunto quociente é
.