Verifique se a relação dada é de equivalência sobre o conjunto
. Descreva, quando for o caso, os conjuntos quocientes (partições) associados às relações.
, com
em
.
Passo 1
O enunciado fornece a relação
em
definida por
O que o exercício pede:
- Verificar se a relação é uma relação de equivalência sobre
. - Caso seja equivalência, descrever os conjuntos quocientes (partição) associados.
Informações relevantes dadas:
- O universo é
. - Dois inteiros
estão relacionados exatamente quando é um número da forma , i.e., um número ímpar.
Passo 2
Lembrando (definição): uma relação em
é de equivalência se for simultaneamente reflexiva, simétrica e transitiva. Vou checar cada uma dessas propriedades uma por uma, com explicação do que cada propriedade significa.
Passo 3
Reflexividade — definição e teste:
- Definição: a relação é reflexiva se, para todo
, valer . - Verificação: calcule
. Temos . O número não é da forma (porque é sempre ímpar e é par). Logo é falso para todo . - Conclusão: a relação NÃO é reflexiva.
Comentário didático: reflexividade exige que cada elemento esteja relacionado consigo mesmo; aqui a definição exige diferença ímpar, e a diferença de um número consigo mesmo é zero (par), portanto falha.
Passo 4
Simetria — definição e teste:
- Definição: a relação é simétrica se sempre que
acontece então também . - Verificação: se
então para algum . Então
Note que
pode ser escrito como
com
(que é inteiro), porque
. Assim
também é ímpar, i.e.,
.
- Conclusão: a relação é simétrica.
Comentário didático: a negação de um ímpar continua sendo ímpar — isso garante simetria.
Passo 5
Transitividade — definição e teste:
- Definição: a relação é transitiva se, sempre que
e , então . - Verificação: suponha
e . Então existem inteiros tais que
Somando as duas igualdades obtemos (isolando
):
O lado direito é da forma
, ou seja, é um número par. Portanto
é par e não pode ser escrito como
. Assim, em geral,
é falso.
- Contraexemplo numérico simples: tome
, , . Então (ímpar) e (ímpar), mas (par), logo e ocorrem, porém não ocorre. - Conclusão: a relação NÃO é transitiva.
Comentário didático: soma de dois ímpares é par, por isso a propriedade transitiva falha aqui.
Passo 6
Conclusão sobre ser relação de equivalência:
- Já que a relação falha em ser reflexiva e também falha em ser transitiva (embora seja simétrica), a relação
NÃO é uma relação de equivalência sobre .
Explicação intuitiva: uma relação de equivalência quebra o conjunto em classes que são “internamente conectadas” e todo elemento está na sua própria classe; aqui cada número está relacionado apenas com números de paridade oposta, nunca consigo mesmo, e a composição de duas dessas relações volta para números da mesma paridade — por isso falta a transitividade necessária.
Passo 7
Sobre conjuntos quocientes (partição) associados:
- A existência de um conjunto quociente (também chamado de partição induzida por uma relação de equivalência) exige que a relação seja de equivalência. Como
NÃO é relação de equivalência, NÃO existe um conjunto quociente legítimo associado a . - Observação útil (para entendimento): para cada
o conjunto é exatamente o conjunto dos inteiros de paridade oposta a . Ou seja, se é par, esse conjunto é o conjunto dos ímpares; se é ímpar, esse conjunto é o conjunto dos pares. Mas esses conjuntos não são classes de equivalência porque uma classe de equivalência deve conter o próprio elemento , o que aqui não acontece. Portanto não há partição em classes de equivalência.
Resposta
Não;
não é uma relação de equivalência em
(não é reflexiva e não é transitiva, embora seja simétrica).
Não existe conjunto quociente associado a , pois a relação não é de equivalência.
Não existe conjunto quociente associado a