Verifique se a relação dada é de equivalência sobre o conjunto A. Descreva, quando for o caso, os conjuntos quocientes (partições) associados às relações.
x \mathcal{R}_{5} y \Leftrightarrow x-y=2 k+1, com k \in \mathbb{Z} em A=\mathbb{Z}.

Passo 1

O enunciado fornece a relação \mathcal{R}_{5} em A=\mathbb{Z} definida por
x\mathcal{R}_{5}y \Longleftrightarrow x-y=2k+1,\quad k\in\mathbb{Z}.
O que o exercício pede:
  1. Verificar se a relação é uma relação de equivalência sobre A.
  2. Caso seja equivalência, descrever os conjuntos quocientes (partição) associados.
Informações relevantes dadas:
  • O universo é A=\mathbb{Z}.
  • Dois inteiros x,y estão relacionados exatamente quando x-y é um número da forma 2k+1, i.e., um número ímpar.

Passo 2

Lembrando (definição): uma relação em A é de equivalência se for simultaneamente reflexiva, simétrica e transitiva. Vou checar cada uma dessas propriedades uma por uma, com explicação do que cada propriedade significa.

Passo 3

Reflexividade — definição e teste:
  • Definição: a relação é reflexiva se, para todo x\in A, valer x\mathcal{R}_{5}x.
  • Verificação: calcule x-x. Temos x-x=0. O número 0 não é da forma 2k+1 (porque 2k+1 é sempre ímpar e 0 é par). Logo x\mathcal{R}_{5}x é falso para todo x.
  • Conclusão: a relação NÃO é reflexiva.
Comentário didático: reflexividade exige que cada elemento esteja relacionado consigo mesmo; aqui a definição exige diferença ímpar, e a diferença de um número consigo mesmo é zero (par), portanto falha.

Passo 4

Simetria — definição e teste:
  • Definição: a relação é simétrica se sempre que x\mathcal{R}_{5}y acontece então também y\mathcal{R}_{5}x.
  • Verificação: se x\mathcal{R}_{5}y então x-y=2k+1 para algum k\in\mathbb{Z}. Então
y-x=-(x-y)=-(2k+1)=-2k-1.
Note que -2k-1 pode ser escrito como 2m+1 com m=-k-1 (que é inteiro), porque 2(-k-1)+1=-2k-1. Assim y-x também é ímpar, i.e., y\mathcal{R}_{5}x.
  • Conclusão: a relação é simétrica.
Comentário didático: a negação de um ímpar continua sendo ímpar — isso garante simetria.

Passo 5

Transitividade — definição e teste:
  • Definição: a relação é transitiva se, sempre que x\mathcal{R}_{5}y e y\mathcal{R}_{5}z, então x\mathcal{R}_{5}z.
  • Verificação: suponha x\mathcal{R}_{5}y e y\mathcal{R}_{5}z. Então existem inteiros k,\ell tais que
x-y=2k+1\quad\text{e}\quad y-z=2\ell+1.
Somando as duas igualdades obtemos (isolando x-z):
x-z=(x-y)+(y-z)=(2k+1)+(2\ell+1)=2(k+\ell+1).
O lado direito é da forma 2\cdot(\text{inteiro}), ou seja, é um número par. Portanto x-z é par e não pode ser escrito como 2m+1. Assim, em geral, x\mathcal{R}_{5}z é falso.
  • Contraexemplo numérico simples: tome x=2, y=1, z=0. Então 2-1=1 (ímpar) e 1-0=1 (ímpar), mas 2-0=2 (par), logo x\mathcal{R}_{5}y e y\mathcal{R}_{5}z ocorrem, porém x\mathcal{R}_{5}z não ocorre.
  • Conclusão: a relação NÃO é transitiva.
Comentário didático: soma de dois ímpares é par, por isso a propriedade transitiva falha aqui.

Passo 6

Conclusão sobre ser relação de equivalência:
  • Já que a relação falha em ser reflexiva e também falha em ser transitiva (embora seja simétrica), a relação \mathcal{R}_{5} NÃO é uma relação de equivalência sobre \mathbb{Z}.
Explicação intuitiva: uma relação de equivalência quebra o conjunto em classes que são “internamente conectadas” e todo elemento está na sua própria classe; aqui cada número está relacionado apenas com números de paridade oposta, nunca consigo mesmo, e a composição de duas dessas relações volta para números da mesma paridade — por isso falta a transitividade necessária.

Passo 7

Sobre conjuntos quocientes (partição) associados:
  • A existência de um conjunto quociente (também chamado de partição induzida por uma relação de equivalência) exige que a relação seja de equivalência. Como \mathcal{R}_{5} NÃO é relação de equivalência, NÃO existe um conjunto quociente legítimo associado a \mathcal{R}_{5}.
  • Observação útil (para entendimento): para cada x\in\mathbb{Z} o conjunto \{y\in\mathbb{Z}\mid x\mathcal{R}_{5}y\} é exatamente o conjunto dos inteiros de paridade oposta a x. Ou seja, se x é par, esse conjunto é o conjunto dos ímpares; se x é ímpar, esse conjunto é o conjunto dos pares. Mas esses conjuntos não são classes de equivalência porque uma classe de equivalência deve conter o próprio elemento x, o que aqui não acontece. Portanto não há partição em classes de equivalência.

Resposta

Não; \mathcal{R}_{5} não é uma relação de equivalência em \mathbb{Z} (não é reflexiva e não é transitiva, embora seja simétrica).
Não existe conjunto quociente associado a \mathcal{R}_{5}, pois a relação não é de equivalência.

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