Calcule a integral a seguir:
\int_{-\infty}^{0} e^{5 x} d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{0} e^{5x}\,dx
Informações dadas: a função integranda é \,e^{5x}\, e o intervalo de integração vai de -\infty até 0. O ponto potencialmente problemático é o limite inferior -\infty, ou seja, temos uma integral imprópria. O objetivo é obter o valor numérico dessa integral (ou mostrar que diverge, se for o caso).

Passo 2

Definição de integral imprópria que vamos usar: transformar a integral com limite infinito em um limite de integrais definidas. Escrevemos
\int_{-\infty}^{0} e^{5x}\,dx = \lim_{a\to -\infty} \int_{a}^{0} e^{5x}\,dx
Isso significa que primeiro calculamos a integral de a até 0 para a finito, e depois avaliamos o que acontece quando a vai para -\infty.

Passo 3

Precisamos de uma primitiva (antiderivada) de \,e^{5x}\,. Lembra que a derivada de e^{5x} é 5e^{5x}. Logo, uma primitiva é
\frac{1}{5}e^{5x}
De modo geral, para constante k\neq 0 vale \displaystyle \frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{k}e^{kx}\right)=e^{kx}. Aqui k=5, por isso a primitiva acima funciona.

Passo 4

Agora avaliamos a integral definida de a até 0 usando a primitiva:
\int_{a}^{0} e^{5x}\,dx = \left.\frac{1}{5}e^{5x}\right|_{x=a}^{x=0} = \frac{1}{5}\bigl(e^{0}-e^{5a}\bigr)
Note que e^{0}=1, então esta expressão fica \displaystyle \frac{1}{5}\bigl(1-e^{5a}\bigr).

Passo 5

Agora tomamos o limite quando a\to -\infty:
\lim_{a\to -\infty} \frac{1}{5}\bigl(1-e^{5a}\bigr)
Quando a\to -\infty temos 5a\to -\infty, e sabemos que \displaystyle \lim_{t\to -\infty} e^{t}=0. Portanto \displaystyle \lim_{a\to -\infty} e^{5a}=0. Substituindo no limite obtemos
\frac{1}{5}\bigl(1-0\bigr)=\frac{1}{5}

Passo 6

Conclusão: a integral imprópria converge e seu valor é \displaystyle \frac{1}{5}. Intuitivamente, a função e^{5x} decai muito rápido quando x vai para -\infty, então a área acumulada à esquerda é finita.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}

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