O problema pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{0} e^{5x}\,dx
Informações dadas: a função integranda é \,e^{5x}\, e o intervalo de integração vai de -\infty até 0. O ponto potencialmente problemático é o limite inferior -\infty, ou seja, temos uma integral imprópria. O objetivo é obter o valor numérico dessa integral (ou mostrar que diverge, se for o caso).
Passo 2
Definição de integral imprópria que vamos usar: transformar a integral com limite infinito em um limite de integrais definidas. Escrevemos
Isso significa que primeiro calculamos a integral de a até 0 para a finito, e depois avaliamos o que acontece quando a vai para -\infty.
Passo 3
Precisamos de uma primitiva (antiderivada) de \,e^{5x}\,. Lembra que a derivada de e^{5x} é 5e^{5x}. Logo, uma primitiva é
\frac{1}{5}e^{5x}
De modo geral, para constante k\neq 0 vale \displaystyle \frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{k}e^{kx}\right)=e^{kx}. Aqui k=5, por isso a primitiva acima funciona.
Passo 4
Agora avaliamos a integral definida de a até 0 usando a primitiva:
Quando a\to -\infty temos 5a\to -\infty, e sabemos que \displaystyle \lim_{t\to -\infty} e^{t}=0. Portanto \displaystyle \lim_{a\to -\infty} e^{5a}=0. Substituindo no limite obtemos
\frac{1}{5}\bigl(1-0\bigr)=\frac{1}{5}
Passo 6
Conclusão: a integral imprópria converge e seu valor é \displaystyle \frac{1}{5}. Intuitivamente, a função e^{5x} decai muito rápido quando x vai para -\infty, então a área acumulada à esquerda é finita.