Encontre a área da superfície do cone z=raiz8(x^2+y^2) interior ao parabolóide z=x^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da superfície do cone definido por $ z = \sqrt{8(x^{2} + y^{2})} $ que está dentro do parabolóide $ z = x^{2} + y^{2} $. Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo multivariável, como coordenadas polares e integrais de superfície. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície do cone e encontrar os limites de integração onde o cone está dentro do parabolóide.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde o cone e o parabolóide se encontram, ou seja, encontrar a curva de interseção entre eles. Igualamos as duas equações:
raiz8(x^2 + y^2) = x^2 + y^2
Vamos simplificar isso usando coordenadas polares, onde $ x = r\cos\theta $ e $ y = r\sin\theta $. Assim, $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $.

Passo 3

Substituindo na equação da interseção:
raiz8r^2 = r^2 Rightarrow raiz8 cdot r = r^2
Dividindo ambos os lados por $ r $ (com $ r \neq 0 $):
r
Então, a interseção ocorre quando $ r = \sqrt{8} $.

Passo 4

Agora, vamos parametrizar a superfície do cone em coordenadas polares. A equação do cone é:
z = raiz8r^2 = 2raiz2 cdot r
A área da superfície em coordenadas polares é dada por:
dS = raiz(partial zpartial r)^2 + (partial zpartial theta)^2 + 1 cdot r , dr , dtheta
No caso do nosso cone, $ z $ não depende de $ \theta $, então $ \frac{\partial z}{\partial \theta} = 0 $.

Passo 5

Calculando as derivadas parciais:
partial zpartial r = 2raiz2
partial zpartial theta = 0
Portanto, a expressão para $ dS $ fica:
dS

Passo 6

Agora, estabelecemos os limites de integração. Como a interseção ocorre em $ r = \sqrt{8} $, nosso $ r $ varia de 0 a $ \sqrt{8} $. O ângulo $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $ para cobrir toda a circunferência.

Passo 7

Montamos a integral para a área $ A $:
A
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a $ r $:
A = integral0^2pi integral0^raiz8 3r , dr , dtheta
Em seguida, resolvemos a integral externa em relação a $ \theta $:
r

Resposta

A área da superfície do cone dentro do parabolóide é $ 24\pi $ unidades de área.

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