- Encontre a área da superfície cortada do paraboloide
pelo plano
.
Passo 1
O enunciado pede a área da parte do paraboloide
que fica “acima” do plano
, ou seja, a região do paraboloide em que
. Vamos usar o fato de que podemos escrever a superfície como gráfico
restricta ao domínio
O conteúdo é cálculo de área de uma superfície via integral dupla:
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de
.
Logo,
Passo 3
Montar a integral de área:
Para simplificar, mudamos para coordenadas polares em
:
O elemento de área é
e
.
Passo 4
A integral vira
Fazendo
,
, quando
vem
e quando
vem
. Assim,
Multiplicando por
,