1. Encontre a área da superfície cortada do paraboloide x^{2}+y+ z^{2}=2 pelo plano y=0.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte do paraboloide
x^{2}+y+z^{2}=2
que fica “acima” do plano y=0, ou seja, a região do paraboloide em que y\ge0. Vamos usar o fato de que podemos escrever a superfície como gráfico
y = f(x,z) = 2 - x^{2} - z^{2}
restricta ao domínio
D = \{(x,z)\mid f(x,z)\ge0\} = \{(x,z)\mid x^{2}+z^{2}\le2\}.
O conteúdo é cálculo de área de uma superfície via integral dupla:
\text{área} = \iint_{D}\sqrt{1 + f_x^2 + f_z^2}\,dA.á

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f.
f_x = \frac{\partial}{\partial x}(2-x^2-z^2) = -2x, \quad f_z = \frac{\partial}{\partial z}(2-x^2-z^2) = -2z.
Logo,
1 + f_x^2 + f_z^2 = 1 + 4x^2 + 4z^2.

Passo 3

Montar a integral de área:
A = \iint_{D} \sqrt{1 + 4x^2 + 4z^2}\,dx\,dz.
Para simplificar, mudamos para coordenadas polares em x,z:
x = r\cos\theta,\quad z = r\sin\theta, \quad 0 \le r \le \sqrt2,\quad 0 \le \theta \le 2\pi.
O elemento de área é dx\,dz = r\,dr\,d\theta e 1+4x^2+4z^2 = 1+4r^2.

Passo 4

A integral vira
A = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt2} \sqrt{1+4r^2}\;r\,dr\,d\theta = 2\pi \int_{0}^{\sqrt2} r\sqrt{1+4r^2}\;dr.
Fazendo u=1+4r^2, du=8r\,dr, quando r=0 vem u=1 e quando r=\sqrt2 vem u=9. Assim,
\int_{0}^{\sqrt2} r\sqrt{1+4r^2}\,dr = \int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}}{8}\,du = \frac{1}{8}\cdot \frac{2}{3}\bigl[u^{3/2}\bigr]_{1}^{9} = \frac{1}{12}(27-1) = \frac{26}{12} = \frac{13}{6}.
Multiplicando por 2\pi,
A = 2\pi \cdot \frac{13}{6} = \frac{13\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{13\pi}{3}

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