Se a>0 encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva 3 a x^2=y(a-y)^2 em torno do eixo y.

Passo 1

O exercício pede a área da superfície obtida ao girar, em torno do eixo y, a curva definida por 3 a x^2=y(a-y)^2 com a>0. O conteúdo envolvido é o cálculo de área de superfície de revolução, usando a fórmula
S = 2pi integraly1^y2 x(y) raiz1 + l(x'(y)r)^2,dy

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação dada para expressar x em função de y:
3a,x^2 = y(a-y)^2 implies x = (a-y)raizyraiz3a
O domínio de y vem de exigir x real e não negativo: 0<= y<= a.

Passo 3

Agora calculamos a derivada:
x(y) = (a-y),y^1/2raiz3a implies x'(y) = a-3y2raiz3a,raizy
Logo,
l(x'(y)r)^2 = (a-3y)^212a,y

Passo 4

Montamos o integrando da área:
raiz1 + l(x'(y)r)^2 = a+3yraiz12a,y,
então
x(y)raiz1+(x')^2 = (a-y)raizyraiz3acdota+3yraiz12a,y = (a-y)(a+3y)6a

Passo 5

A área é
S = 2pi integral0^a (a-y)(a+3y)6a,dy = pi3a integral0^a (a^2 +2ay -3y^2),dy

Passo 6

Calculando a integral:
integral0^a(a^2 +2ay -3y^2)dy = [a^2y + a y^2 - y^3]0^a = a^3 + a^3 - a^3 = a^3
Portanto
S = pi3a,a^3 = pi a^23

Resposta

S = pi a^23

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