Derive as seguintes funções:
f(x)=xx-1-5x-1

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função racional f(x)= xx-1-5x-1. O conteúdo aqui é derivadas de funções racionais, e vamos precisar de álgebra para simplificar expressões e da regra da potência (e da cadeia) para derivar termos na forma (x-1)^n.

Passo 2

Primeiro, vamos combinar as frações porque ambas têm denominador comum x-1:
f(x)=x-5x-1
Em seguida, podemos reescrever essa expressão de modo a facilitar a derivada. Observe que:
x-5x-1=(x-1)-4x-1=1-4x-1
Logo,
f(x)=1-4(x-1)^-1

Passo 3

Agora derivamos termo a termo. A derivada de 1 é zero. Para derivar -4(x-1)^-1 usamos a regra da potência e da cadeia:
ddxl[(x-1)^-1r]=-1,(x-1)^-2cdotddx(x-1)=-1,(x-1)^-2cdot1=-(x-1)^-2
Multiplicando pelo coeficiente -4 temos
ddxl[-4(x-1)^-1r]=-4times[-(x-1)^-2]=4(x-1)^-2

Passo 4

Portanto, a derivada da função original é
f'(x)=4(x-1)^2

Resposta

f’(x)=\frac{4}{(x-1)^2}

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