Encontre a solução do sistema de EDOs abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais ordinárias (EDOs) que envolve duas funções, $ y_1(t) $ e $ y_2(t) $. Nosso objetivo é encontrar expressões para $ y_1(t) $ e $ y_2(t) $ que satisfaçam as duas equações dadas. Para isso, vamos usar a teoria de sistemas lineares com coeficientes constantes, que envolve encontrar autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de EDOs na forma matricial. Temos:
$$
$$
Isso facilita o trabalho com sistemas lineares.
Passo 3
Agora, encontramos os autovalores da matriz $ A =
$. Para isso, resolvemos a equação característica:
Calculando:
Passo 4
Resolvemos a equação quadrática $ \lambda^2 - 12\lambda + 27 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, os autovalores são $ \lambda_1 = 9 $ e $ \lambda_2 = 3 $.
Passo 5
Para cada autovalor, encontramos um autovetor correspondente.
Para $ \lambda_1 = 9 $:
Isso dá $ -3v_1 + 9v_2 = 0 $, ou seja, $ v_1 = 3v_2 $. Podemos escolher $ v_2 = 1 $, então $ \mathbf{v}_1 =
$.
Para $ \lambda_2 = 3 $:
Isso dá $ 3v_1 + 9v_2 = 0 $, ou seja, $ v_1 = -3v_2 $. Podemos escolher $ v_2 = 1 $, então $ \mathbf{v}_2 =
$.
Passo 6
A solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada autovalor e autovetor:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais.
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.