Encontre a solução do sistema de EDOs abaixo.
y1^prime & =6 y1+9 y2 y2^prime & =y1+6 y2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais ordinárias (EDOs) que envolve duas funções, $ y_1(t) $ e $ y_2(t) $. Nosso objetivo é encontrar expressões para $ y_1(t) $ e $ y_2(t) $ que satisfaçam as duas equações dadas. Para isso, vamos usar a teoria de sistemas lineares com coeficientes constantes, que envolve encontrar autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de EDOs na forma matricial. Temos:

$$
y1' y2' = 6 & 9 1 & 6 y1 y2


$$
Isso facilita o trabalho com sistemas lineares.

Passo 3

Agora, encontramos os autovalores da matriz $ A = A = 6 & 9 1 & 6 $. Para isso, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Calculando:
det 6 - lambda & 9 1 & 6 - lambda = (6 - lambda)^2 - 9 = lambda^2 - 12lambda + 27 = 0

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática $ \lambda^2 - 12\lambda + 27 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
lambda^2 - 12lambda + 27 = 0
Assim, os autovalores são $ \lambda_1 = 9 $ e $ \lambda_2 = 3 $.

Passo 5

Para cada autovalor, encontramos um autovetor correspondente.
Para $ \lambda_1 = 9 $:
lambda1 = 9
Isso dá $ -3v_1 + 9v_2 = 0 $, ou seja, $ v_1 = 3v_2 $. Podemos escolher $ v_2 = 1 $, então $ \mathbf{v}_1 = (A - 9I)v = 0 Rightarrow -3 & 9 1 & -3 v1 v2 = 0 $.
Para $ \lambda_2 = 3 $:
-3v1 + 9v2 = 0
Isso dá $ 3v_1 + 9v_2 = 0 $, ou seja, $ v_1 = -3v_2 $. Podemos escolher $ v_2 = 1 $, então $ \mathbf{v}_2 = v1 = 3v2 $.

Passo 6

A solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada autovalor e autovetor:
y1(t) = C1 cdot 3 e^9t + C2 cdot (-3) e^3t y2(t) = C1 cdot e^9t + C2 cdot e^3t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais.

Resposta

A solução geral do sistema é:
y1(t) = 3 C1 e^9t - 3 C2 e^3t y2(t) = C1 e^9t + C2 e^3t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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