Encontre d y / d x.
x=t \cos t, \quad y=t \sin t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada dy/dx da curva dada parametricamente pelas equações:
x = t\cos t, \qquad y = t\sin t.
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável independente do parâmetro é t.
  • As funções x(t) e y(t) estão definidas para valores de t (não foi dado domínio específico).
  • A tarefa é obter a inclinação da curva no plano xy, ou seja dy/dx, em termos de t.

Passo 2

Ideia geral e fórmula que vamos usar (explicada passo a passo).
  • Quando uma curva é dada por coordenadas paramétricas x(t) e y(t), a derivada \dfrac{dy}{dx} pode ser obtida pela razão das derivadas em relação ao parâmetro t:
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}},
desde que \dfrac{dx}{dt}\neq0.
  • Isso faz sentido porque \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} é simplesmente a regra da cadeia aplicada inversamente: \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}.

Passo 3

Revisão das regras de derivação que vamos usar:
  • Regra do produto: se u(t) e v(t) são diferenciáveis, então
\frac{d}{dt}\big(u v\big)=u'\,v+u\,v'.
  • Derivadas básicas de funções trigonométricas:
\frac{d}{dt}\big(\sin t\big)=\cos t,\qquad \frac{d}{dt}\big(\cos t\big)=-\sin t.
Usaremos essas duas regras para derivar x(t)=t\cos t e y(t)=t\sin t.

Passo 4

Calcular \dfrac{dx}{dt} aplicando a regra do produto em x(t)=t\cos t.
  • Tome u(t)=t e v(t)=\cos t. Então u'(t)=1 e v'(t)=-\sin t.
  • Aplicando a regra do produto:
\frac{dx}{dt} = 1\cdot\cos t + t\cdot(-\sin t) = \cos t - t\sin t.

Passo 5

Calcular \dfrac{dy}{dt} aplicando a regra do produto em y(t)=t\sin t.
  • Tome u(t)=t e v(t)=\sin t. Então u'(t)=1 e v'(t)=\cos t.
  • Aplicando a regra do produto:
\frac{dy}{dt} = 1\cdot\sin t + t\cdot\cos t = \sin t + t\cos t.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da Passo 2 para obter \dfrac{dy}{dx} como a razão entre as duas derivadas:
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\frac{\sin t + t\cos t}{\cos t - t\sin t}.
Observações importantes para a prova:
  • É necessário verificar o denominador: a expressão acima vale apenas quando \dfrac{dx}{dt}=\cos t - t\sin t\neq0. Se \cos t - t\sin t=0 então a derivada \dfrac{dy}{dx} não está definida naquele t (isso corresponde a uma tangente vertical).
  • A equação para tangente vertical é
\cos t - t\sin t = 0 \quad\text{(equação transcendental; geralmente não tem solução inteira simples)}.çããçã
  • Exemplo rápido para checar comportamento: em t=0,
\frac{dx}{dt}\Big|_{t=0}=\cos 0 - 0\cdot\sin0 = 1\neq0,
logo a fórmula vale em t=0. Substituindo em \dfrac{dy}{dx} com t=0
\frac{dy}{dx}\Big|_{t=0}=\frac{\sin 0 + 0\cdot\cos 0}{\cos 0 - 0\cdot\sin 0}=\frac{0}{1}=0,
ou seja a inclinação no ponto correspondente a t=0 é 0.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\sin t + t\cos t}{\cos t - t\sin t}

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