O enunciado pede para encontrar a derivada dy/dx da curva dada parametricamente pelas equações:
x = t\cos t, \qquad y = t\sin t.
Informações relevantes fornecidas:
A variável independente do parâmetro é t.
As funções x(t) e y(t) estão definidas para valores de t (não foi dado domínio específico).
A tarefa é obter a inclinação da curva no plano xy, ou seja dy/dx, em termos de t.
Passo 2
Ideia geral e fórmula que vamos usar (explicada passo a passo).
Quando uma curva é dada por coordenadas paramétricas x(t) e y(t), a derivada \dfrac{dy}{dx} pode ser obtida pela razão das derivadas em relação ao parâmetro t:
Isso faz sentido porque \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} é simplesmente a regra da cadeia aplicada inversamente: \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}.
Passo 3
Revisão das regras de derivação que vamos usar:
Regra do produto: se u(t) e v(t) são diferenciáveis, então
\frac{d}{dt}\big(u v\big)=u'\,v+u\,v'.
Derivadas básicas de funções trigonométricas:
\frac{d}{dt}\big(\sin t\big)=\cos t,\qquad \frac{d}{dt}\big(\cos t\big)=-\sin t.
Usaremos essas duas regras para derivar x(t)=t\cos t e y(t)=t\sin t.
Passo 4
Calcular \dfrac{dx}{dt} aplicando a regra do produto em x(t)=t\cos t.
Tome u(t)=t e v(t)=\cos t. Então u'(t)=1 e v'(t)=-\sin t.
Aplicando a regra do produto:
\frac{dx}{dt} = 1\cdot\cos t + t\cdot(-\sin t) = \cos t - t\sin t.
Passo 5
Calcular \dfrac{dy}{dt} aplicando a regra do produto em y(t)=t\sin t.
Tome u(t)=t e v(t)=\sin t. Então u'(t)=1 e v'(t)=\cos t.
Aplicando a regra do produto:
\frac{dy}{dt} = 1\cdot\sin t + t\cdot\cos t = \sin t + t\cos t.
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula da Passo 2 para obter \dfrac{dy}{dx} como a razão entre as duas derivadas:
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\frac{\sin t + t\cos t}{\cos t - t\sin t}.
Observações importantes para a prova:
É necessário verificar o denominador: a expressão acima vale apenas quando \dfrac{dx}{dt}=\cos t - t\sin t\neq0. Se \cos t - t\sin t=0 então a derivada \dfrac{dy}{dx} não está definida naquele t (isso corresponde a uma tangente vertical).
A equação para tangente vertical é
\cos t - t\sin t = 0 \quad\text{(equação transcendental; geralmente não tem solução inteira simples)}.