Encontre a área da superfície parametrizada formada pela parte de baixo da esfera x^2+ y^2+z^2=2 e pelo cone z=raizx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a área da superfície formada pela parte de baixo da esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2 $ e pelo cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente parametrização de superfícies e integração para calcular áreas. Basicamente, vamos identificar onde a esfera e o cone se encontram, parametrizar a parte da esfera que está abaixo do cone e, finalmente, calcular a área dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a curva de interseção entre a esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2 $ e o cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Substituindo $ z $ na equação da esfera:
x^2 + y^2 + z^2 = 2
Então, a curva de interseção é um círculo de raio 1 no plano $ z = \sqrt{1} = 1 $.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a parte da esfera que está abaixo desse círculo de interseção. Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto na esfera pode ser representado como:
x = r sinphi costheta y = r sinphi sintheta z = r cosphi
Aqui, $ r = \sqrt{2} $ (já que $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2 $), $ \phi $ é o ângulo polar (medido a partir do eixo $ z $) e $ \theta $ é o ângulo azimutal (no plano $ xy $).

Passo 4

Precisamos encontrar o limite para $ \phi $ que define a parte da esfera abaixo do cone. Sabemos que no cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $, em coordenadas esféricas isso se traduz em:
phi
Então, $ \phi $ varia de $ \frac{\pi}{4} $ até $ \pi $ para cobrir a parte inferior da esfera.

Passo 5

Agora, podemos expressar a parametrização da superfície da esfera abaixo do cone:
r(phi, theta) = ( raiz2 sinphi costheta, raiz2 sinphi sintheta, raiz2 cosphi )
onde $ \frac{\pi}{4} \leq \phi \leq \pi $ e $ 0 \leq \theta \leq 2\pi $.

Passo 6

Para encontrar a área da superfície parametrizada, usamos a fórmula da área para parametrizações:
Área = integral duplaD | partial rpartial phi times partial rpartial theta | dphi dtheta Á
Vamos calcular as derivadas parciais de $ \mathbf{r} $ em relação a $ \phi $ e $ \theta $:
r

Passo 7

Agora, calculamos o produto vetorial dessas derivadas:
partial rpartial phi times partial rpartial theta = | ccc i & j & k raiz2 cosphi costheta & raiz2 cosphi sintheta & -raiz2 sinphi -raiz2 sinphi sintheta & raiz2 sinphi costheta & 0 |
Calculando o determinante:
i ( raiz2 cosphi sintheta cdot 0 - (-raiz2 sinphi) cdot raiz2 sinphi costheta ) - j ( raiz2 cosphi costheta cdot 0 - (-raiz2 sinphi) cdot (-raiz2 sinphi sintheta) ) + k ( raiz2 cosphi costheta cdot raiz2 sinphi costheta - raiz2 cosphi sintheta cdot (-raiz2 sinphi sintheta) )
Simplificando:
i ( 0 + 2 sin^2phi costheta ) - j ( 0 - 2 sin^2phi sintheta ) + k ( 2 sinphi cosphi cos^2theta + 2 sinphi cosphi sin^2theta )
Isso dá:
2 sin^2phi costheta , i + 2 sin^2phi sintheta , j + 2 sinphi cosphi (cos^2theta + sin^2theta) , k
Como $ \cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1 $, simplifica para:
cos^2theta + sin^2theta = 1

Passo 8

Agora, calculamos a magnitude desse vetor:
| partial rpartial phi times partial rpartial theta | = raiz(2 sin^2phi costheta)^2 + (2 sin^2phi sintheta)^2 + (2 sinphi cosphi)^2 = raiz4 sin^4phi cos^2theta + 4 sin^4phi sin^2theta + 4 sin^2phi cos^2phi = raiz4 sin^4phi (cos^2theta + sin^2theta) + 4 sin^2phi cos^2phi = raiz4 sin^4phi + 4 sin^2phi cos^2phi = raiz4 sin^2phi (sin^2phi + cos^2phi) = raiz4 sin^2phi = 2 sinphi

Passo 9

Agora, podemos expressar a integral para a área:
Área = integral0^2pi integralpi4^pi 2 sinphi , dphi , dtheta Á
Primeiro, integramos em relação a $ \phi $:
phi

Passo 10

Agora, integramos em relação a $ \theta $:
theta Á

Resposta

A área da superfície é $ 4\pi + 2\sqrt{2}\pi $.

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