Encontre a área da superfície parametrizada formada pela parte de baixo da esfera
e pelo cone
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a área da superfície formada pela parte de baixo da esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2 $ e pelo cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente parametrização de superfícies e integração para calcular áreas. Basicamente, vamos identificar onde a esfera e o cone se encontram, parametrizar a parte da esfera que está abaixo do cone e, finalmente, calcular a área dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a curva de interseção entre a esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2 $ e o cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Substituindo $ z $ na equação da esfera:
Então, a curva de interseção é um círculo de raio 1 no plano $ z = \sqrt{1} = 1 $.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a parte da esfera que está abaixo desse círculo de interseção. Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto na esfera pode ser representado como:
Aqui, $ r = \sqrt{2} $ (já que $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2 $), $ \phi $ é o ângulo polar (medido a partir do eixo $ z $) e $ \theta $ é o ângulo azimutal (no plano $ xy $).
Passo 4
Precisamos encontrar o limite para $ \phi $ que define a parte da esfera abaixo do cone. Sabemos que no cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $, em coordenadas esféricas isso se traduz em:
Então, $ \phi $ varia de $ \frac{\pi}{4} $ até $ \pi $ para cobrir a parte inferior da esfera.
Passo 5
Agora, podemos expressar a parametrização da superfície da esfera abaixo do cone:
onde $ \frac{\pi}{4} \leq \phi \leq \pi $ e $ 0 \leq \theta \leq 2\pi $.
Passo 6
Para encontrar a área da superfície parametrizada, usamos a fórmula da área para parametrizações:
Vamos calcular as derivadas parciais de $ \mathbf{r} $ em relação a $ \phi $ e $ \theta $:
Passo 7
Agora, calculamos o produto vetorial dessas derivadas:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Isso dá:
Como $ \cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1 $, simplifica para:
Passo 8
Agora, calculamos a magnitude desse vetor:
Passo 9
Agora, podemos expressar a integral para a área:
Primeiro, integramos em relação a $ \phi $:
Passo 10
Agora, integramos em relação a $ \theta $:
Resposta
A área da superfície é $ 4\pi + 2\sqrt{2}\pi $.