Resolva as seguintes EDO:
Passo 1
Então, a gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é a
. Vamos resolver essa EDO que é do tipo linear de primeira ordem. Para isso, vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão das EDOs lineares:
. Nossa equação fica:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que ajuda a simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Vamos multiplicar toda a equação pelo fator integrante
:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora fica como a derivada do produto
. Ou seja:
Passo 6
Para simplificar, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos resolver a integral
usando o método de integração por partes. Escolhemos:
-
⇒ -
⇒
Passo 8
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Simplificando:
Passo 9
Resolvendo a integral restante:
Substituindo de volta:
Passo 10
Voltando à equação original:
Agora, multiplicamos todos os termos por
para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: