Resolva as seguintes EDO:
d yd x=2 y-3 x

Passo 1

Então, a gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é a dydx = 2y - 3x. Vamos resolver essa EDO que é do tipo linear de primeira ordem. Para isso, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão das EDOs lineares: dydx + P(x)y = Q(x). Nossa equação fica:
dydx - 2y = -3x
Aqui, P(x) = -2 e Q(x) = -3x.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que ajuda a simplificar a equação. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) , dx = e^integral -2 , dx = e^-2x

Passo 4

Vamos multiplicar toda a equação pelo fator integrante e^-2x:
e^-2x dydx - 2 e^-2x y = -3x e^-2x

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora fica como a derivada do produto y cdot e^-2x. Ou seja:
ddx ( e^-2x y ) = -3x e^-2x

Passo 6

Para simplificar, vamos integrar ambos os lados em relação a x:
integral ddx ( e^-2x y ) , dx = integral -3x e^-2x , dx
Isso resulta em:
e^-2x y = integral -3x e^-2x , dx + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Vamos resolver a integral integral -3x e^-2x , dx usando o método de integração por partes. Escolhemos:
  • u = -3x ⇒  du = -3 , dx
  • dv = e^-2x , dx ⇒  v = -12 e^-2x

Passo 8

Aplicando a fórmula de integração por partes integral u , dv = uv - integral v , du:
integral -3x e^-2x , dx = (-3x) ( -12 e^-2x ) - integral ( -12 e^-2x ) (-3) , dx
Simplificando:
= 32x e^-2x - 32 integral e^-2x , dx

Passo 9

Resolvendo a integral restante:
integral e^-2x , dx = -12 e^-2x + C
Substituindo de volta:
32x e^-2x - 32 ( -12 e^-2x ) + C = 32x e^-2x + 34 e^-2x + C

Passo 10

Voltando à equação original:
e^-2x y = 32x e^-2x + 34 e^-2x + C
Agora, multiplicamos todos os termos por e^2x para isolar y:
y = 32x + 34 + C e^2x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 32x + 34 + C e^2x

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