Encontre o fluxo exterior de F=y z j+z^2 k através de uma superfície S cortada do cilindro y^2+z^2, z >= 0 pelos planos x=0 e x=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o fluxo exterior do campo vetorial F = y z j + z^2 k através de uma superfície S. Essa superfície é parte de um cilindro definido por y^2 + z^2, onde z >= 0, e é cortada pelos planos x = 0 e x = 1. Aqui, estamos lidando com conceitos de cálculo vetorial, especificamente fluxo e parametrização de superfícies. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o fluxo através de uma superfície usando integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a superfície S. Ela é a parte superior de um cilindro y^2 + z^2 = R^2 (onde R é o raio do cilindro) com z >= 0, e está entre x = 0 e x = 1. Isso significa que estamos olhando para a “tampa” do cilindro de x = 0 a x = 1.

Passo 3

Para calcular o fluxo, precisamos parametrizar a superfície S. Vamos usar coordenadas cilíndricas porque o cilindro se encaixa bem nesse sistema. Em coordenadas cilíndricas, podemos escrever:
y = r cos theta, z = r sin theta
Como z >= 0, theta varia de 0 a pi.

Passo 4

A parametrização da superfície S em termos de x, r e theta fica:
r(x, theta) = x i + r cos theta j + r sin theta k
Aqui, x varia de 0 a 1, e r é o raio do cilindro. Se o cilindro for unitário, r = 1.

Passo 5

Agora, vamos calcular os vetores tangentes à superfície, que são as derivadas parciais da parametrização em relação a x e theta:
partial rpartial x = i, partial rpartial theta = -r sin theta j + r cos theta k
Esses vetores serão usados para encontrar o vetor normal à superfície.

Passo 6

O vetor normal à superfície é dado pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
n = partial rpartial x times partial rpartial theta = i times (-r sin theta j + r cos theta k) = r cos theta j + r sin theta k
Esse vetor aponta para fora do cilindro, que é o nosso fluxo exterior.

Passo 7

O fluxo $ \Phi $ é a integral da função $ \vec{F} $ pelo vetor normal $ \vec{n} $ sobre a superfície Phi :
F
Substituímos $ \vec{F} $ e $ \vec{n} $ nas coordenadas cilíndricas.

Passo 8

Vamos substituir $ \vec{F} = y z \vec{j} + z^{2} \vec{k} $ usando $ y = r \cos \theta $ e $ z = r \sin \theta $:
F = y z j + z^2 k

Passo 9

Agora calculamos o produto escalar $ \vec{F} \cdot \vec{n} $:
F cdot n
Fatorando $ r^{3} \sin \theta $:
F cdot n = (r^2 cos theta sin theta) (r cos theta) + (r^2 sin^2 theta) (r sin theta) = r^3 cos^2 theta sin theta + r^3 sin^3 theta
Pois $ \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1 $.

Passo 10

A área diferencial $ dS $ em coordenadas cilíndricas é $ r , d\theta , dx $. Portanto, o fluxo fica:
dS
Assumindo que o raio $ r = 1 $, simplificamos para:
r , dtheta , dx

Passo 11

Calculando as integrais:
integral0^pi sin theta , dtheta = 2
E então:
Phi = integral0^1 2 , dx = 2x |0^1 = 2(1) - 2(0) = 2

Resposta

O fluxo exterior é igual a 2.

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