Encontre o fluxo exterior de através de uma superfície cortada do cilindro pelos planos e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o fluxo exterior do campo vetorial através de uma superfície . Essa superfície é parte de um cilindro definido por , onde , e é cortada pelos planos e . Aqui, estamos lidando com conceitos de cálculo vetorial, especificamente fluxo e parametrização de superfícies. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o fluxo através de uma superfície usando integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a superfície . Ela é a parte superior de um cilindro (onde é o raio do cilindro) com , e está entre e . Isso significa que estamos olhando para a “tampa” do cilindro de a .
Passo 3
Para calcular o fluxo, precisamos parametrizar a superfície . Vamos usar coordenadas cilíndricas porque o cilindro se encaixa bem nesse sistema. Em coordenadas cilíndricas, podemos escrever:
Como , varia de a .
Passo 4
A parametrização da superfície em termos de , e fica:
Aqui, varia de a , e é o raio do cilindro. Se o cilindro for unitário, .
Passo 5
Agora, vamos calcular os vetores tangentes à superfície, que são as derivadas parciais da parametrização em relação a e :
Esses vetores serão usados para encontrar o vetor normal à superfície.
Passo 6
O vetor normal à superfície é dado pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
Esse vetor aponta para fora do cilindro, que é o nosso fluxo exterior.
Passo 7
O fluxo $ \Phi $ é a integral da função $ \vec{F} $ pelo vetor normal $ \vec{n} $ sobre a superfície :
Substituímos $ \vec{F} $ e $ \vec{n} $ nas coordenadas cilíndricas.
Passo 8
Vamos substituir $ \vec{F} = y z \vec{j} + z^{2} \vec{k} $ usando $ y = r \cos \theta $ e $ z = r \sin \theta $:
Passo 9
Agora calculamos o produto escalar $ \vec{F} \cdot \vec{n} $:
Fatorando $ r^{3} \sin \theta $:
Pois $ \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1 $.
Passo 10
A área diferencial $ dS $ em coordenadas cilíndricas é $ r , d\theta , dx $. Portanto, o fluxo fica:
Assumindo que o raio $ r = 1 $, simplificamos para: