- Encontre a área da superfície
que está acima do triângulo delimitado pelas retas
e
no plano
.
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície dada pela equação
que está acima do triângulo
no plano
delimitado pelas retas
,
e
. O conteúdo envolve área de um gráfico
, para o qual usamos a fórmula
onde
é a projeção da superfície no plano
.
Passo 2
Para aplicar a fórmula, escrevemos a superfície na forma
. Da equação
isolamos
:
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
:
Logo o integrando fica
Passo 4
A região
no plano
é o triângulo com vértices em
,
e
. Em coordenadas,
Portanto a área da superfície é
Passo 5
Como
não depende de
, a integração interna dá um fator
:
Passo 6
Fazemos a substituição
, de modo que
e
. Quando
,
; quando
,
. Então