1. Encontre a área da superfície x^{2}-2 y-2 z=0 que está acima do triângulo delimitado pelas retas x=2, y=0 e y=3 x no plano x y.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície dada pela equação x^{2}-2y-2z=0 que está acima do triângulo T no plano xy delimitado pelas retas x=2, y=0 e y=3x. O conteúdo envolve área de um gráfico z=f(x,y), para o qual usamos a fórmula
A=\iint_{D}\sqrt{1+(f_x)^2+(f_y)^2}\,dA,
onde D é a projeção da superfície no plano xy.

Passo 2

Para aplicar a fórmula, escrevemos a superfície na forma z=f(x,y). Da equação
x^{2}-2y-2z=0
isolamos z:
2z=x^2-2y \quad\Longrightarrow\quad z=\frac{x^2}{2}-y.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=\tfrac{x^2}{2}-y:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x^2}{2}-y\Bigr)=x, \quad f_y=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x^2}{2}-y\Bigr)=-1.
Logo o integrando fica
\sqrt{1+(f_x)^2+(f_y)^2} =\sqrt{1+x^2+(-1)^2} =\sqrt{x^2+2}.

Passo 4

A região T no plano xy é o triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (2,6). Em coordenadas,
0\le x\le2, \quad 0\le y\le3x.
Portanto a área da superfície é
A=\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{3x}\sqrt{x^2+2}\;dy\,dx.

Passo 5

Como \sqrt{x^2+2} não depende de y, a integração interna dá um fator 3x:
A=\int_{0}^{2}3x\sqrt{x^2+2}\;dx.

Passo 6

Fazemos a substituição u=x^2+2, de modo que du=2x\,dx e x\,dx=\tfrac{du}{2}. Quando x=0, u=2; quando x=2, u=6. Então
A =\int_{u=2}^{6}3\bigl(x\,dx\bigr)\sqrt{u} =\int_{2}^{6}\tfrac{3}{2}\,\sqrt{u}\,du =\frac{3}{2}\,\int_{2}^{6}u^{1/2}\,du =\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}\bigl[u^{3/2}\bigr]_{2}^{6} =6\sqrt{6}-2\sqrt{2}.

Resposta

6\sqrt{6}-2\sqrt{2}

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