1. A porção do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} que está sobre a região entre a circunferência x^{2}+y^{2}=1 e a elipse 9 x^{2}+4 y^{2}=36 no plano x y. (Sugestão: utilize fórmulas da geometria para encontrar a área da região.)

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície dada por z = \sqrt{x^2 + y^2} sobre a região D do plano xy que fica entre a circunferência \;x^2 + y^2 = 1\;
e a elipse \;9x^2 + 4y^2 = 36.
Vamos usar a fórmula de área de gráfico de função, que diz
\text{Área}(S)=\iint_{D}\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\;dA,Á
e calcular a área de D por meio de fórmulas da geometria.

Passo 2

Primeiro, f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}. Calculamos as derivadas parciais:
f_x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad f_y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.
Então
1 + f_x^2 + f_y^2 =1 + \frac{x^2}{x^2+y^2} + \frac{y^2}{x^2+y^2} =1 + \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2} =2.
Logo o integrando é constante e igual a \sqrt{2}, isto é,
\text{Área}(S) =\sqrt{2}\,\iint_{D}dA =\sqrt{2}\,\text{Área}(D).ÁÁ

Passo 3

A região D é o anel entre o círculo de raio 1 e a elipse \displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1, cuja área é \pi\cdot 2\cdot 3=6\pi. Portanto
\text{Área}(D) =\text{Área(elipse)}-\text{Área(círculo)} =6\pi-\pi =5\pi.ÁÁÁí

Passo 4

Substituindo em \text{Área}(S)=\sqrt{2}\,\text{Área}(D)ÁÁ, obtemos
\text{Área}(S) =\sqrt{2}\times 5\pi =5\sqrt{2}\,\pi.Á

Resposta

5\sqrt{2}\,\pi

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