1. Encontre a área da região cortada do plano x+2 y+2 z=5 pelo cilindro cujas paredes sejam x=y^{2} e x=2-y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a área da porção do plano
x + 2y + 2z = 5
que fica “enterrada” dentro do cilindro de paredes
x = y^2 \quad\text{e}\quad x = 2 - y^2.
O que vamos usar é a fórmula da área de um gráfico z = f(x,y) sobre uma região D no plano xy, que é
\text{Área} = \iint_{D}\sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2}\,dx\,dy.Á

Passo 2

Escrevemos o plano como gráfico de
z = f(x,y) = \frac{5 - x - 2y}{2}.
O “pé” desse pedaço de plano no plano xy é a região
D = \bigl\{(x,y)\mid y\in[-1,1],\;y^2\le x\le 2 - y^2\bigr\},
pois a condição y^2 \le 2 - y^2 y^2\le1, ou seja y\in[-1,1].

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f:
f_x(x,y) = -\tfrac12, \qquad f_y(x,y) = -1.
Logo o fator de correção é constante:
\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2} = \sqrt{1 + \Bigl(-\tfrac12\Bigr)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + \tfrac14 + 1} = \tfrac32.
Assim
\text{Área} = \frac32 \iint_{D} dx\,dy.Á

Passo 4

Falta a área de D. Fazemos
\iint_{D} dx\,dy = \int_{y=-1}^{1}\bigl[(2 - y^2) - (y^2)\bigr]\,dy = \int_{-1}^{1}(2 - 2y^2)\,dy = \frac{8}{3}.
Multiplicando pelo fator \tfrac32
\text{Área} = \frac32 \times \frac{8}{3} = 4.Á

Resposta

A área desejada é 4.

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