Utilize uma parametrização para expressar a área da superfície como uma integral dupla. Em seguida, calcule a integral.
19. Tronco de cone A porção do cone z=2 \sqrt{x^{2}+y^{2}} entre os planos z=2 e z=6.

Passo 1

O enunciado pede a área da porção da superfície do cone definida por
z = 2\sqrt{x^2 + y^2}
entre os planos z=2 e z=6.
O conteúdo é cálculo de área de superfície paramétrico. Vamos usar coordenadas polares para parametrizar essa região do cone.

Passo 2

Em coordenadas polares tomamos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
e da equação do cone z = 2\sqrt{x^2 + y^2} vem
z = 2r.
Como z varia de 2 a 6, então 2r varia de 2 a 6, ou seja r varia de 1 a 3. O parâmetro \theta vai de 0 a 2\pi. Assim a parametrização é
\mathbf{X}(r,\theta) = \bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;2r\bigr),
com \;1 \le r \le 3, 0 \le \theta \le 2\pi.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais
\mathbf{X}_r = (\cos\theta,\;\sin\theta,\;2), \quad \mathbf{X}_\theta = (-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0).
O produto vetorial tem módulo
\|\mathbf{X}_r\times \mathbf{X}_\theta\| = \sqrt{(-2r\cos\theta)^2 + (2r\sin\theta)^2 + (r)^2} = \sqrt{4r^2 + r^2} = r\sqrt{5}.
Logo o elemento de área é
dS = r\sqrt{5}\,dr\,d\theta.

Passo 4

A área da superfície é
\iint_{D} dS = \int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{r=1}^{3} r\sqrt{5}\,dr\,d\theta = \sqrt{5}\,\Bigl(\int_{0}^{2\pi}d\theta\Bigr)\!\Bigl(\int_{1}^{3}r\,dr\Bigr).
Calculando cada integral:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi, \qquad \int_{1}^{3}r\,dr = \bigl[\tfrac{r^2}{2}\bigr]_{1}^{3} = \frac{9-1}{2} = 4.
Portanto
\text{Área} = \sqrt{5}\times 2\pi \times 4 = 8\pi\sqrt{5}.Á

Resposta

A área da porção do cone é 8\pi\sqrt{5}.

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