Utilize uma parametrização para expressar a área da superfície como uma integral dupla. Em seguida, calcule a integral.
19. Tronco de cone A porção do cone
entre os planos
e
.
19. Tronco de cone A porção do cone
Passo 1
O enunciado pede a área da porção da superfície do cone definida por
entre os planos
e
.
O conteúdo é cálculo de área de superfície paramétrico. Vamos usar coordenadas polares para parametrizar essa região do cone.
O conteúdo é cálculo de área de superfície paramétrico. Vamos usar coordenadas polares para parametrizar essa região do cone.
Passo 2
Em coordenadas polares tomamos
e da equação do cone
vem
Como
varia de
a
, então
varia de
a
, ou seja
varia de
a
. O parâmetro
vai de
a
. Assim a parametrização é
com
,
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais
O produto vetorial tem módulo
Logo o elemento de área é
Passo 4
A área da superfície é
Calculando cada integral:
Portanto
Resposta
A área da porção do cone é
.