Encontre a área das superfícies.
A parte do parabolóide z=2 x+y^2 acima do plano x y

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos a área da parte do parabolóide z = 2x + y^2 que fica acima do plano xy (isto é, onde z >= 0). O conteúdo é cálculo de área de superfície de funções do tipo z = f(x,y), usando derivadas parciais e a fórmula de área.

Passo 2

Para uma superfície parametrizada por z = f(x,y), a área é dada por
A = integral duplaD raiz1 + fx(x,y)^2 + fy(x,y)^2,dA,
onde D é a projeção da superfície no plano xy. Aqui f(x,y)=2x+y^2.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
fx = partialpartial x(2x+y^2) = 2, fy = partialpartial y(2x+y^2) = 2y
Logo o integrando é
raiz1 + fx^2 + fy^2 = raiz1 + 2^2 + (2y)^2 = raiz5 + 4y^2

Passo 4

Determine a região D no plano xy: como queremos z>=0, impomos
2x + y^2 >= 0 Longrightarrow x >= -tfracy^22
Isso define uma região não limitada em x (vai de -y^2/2 até +infty) e em y (de -infty a +infty).

Passo 5

O integral de área fica
A = integraly=-infty^infty integralx=-y^2/2^infty raiz5 + 4y^2,dx,dy
Como raiz5+4y^2 independe de x, a integral interna em x é
integralx=-y^2/2^infty dx = l[xr]-y^2/2^infty = infty
Como a integral em x diverge para todo y, o valor de A torna-se infinito e não há convergência.

Passo 6

Conclusão: a área da parte do parabolóide acima do plano xy é infinita.

Resposta

A área da superfície é infinita (diverge).

Exercícios relacionados