Encontre a área das superfícies.
A parte do parabolóide
acima do plano
A parte do parabolóide
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos a área da parte do parabolóide
que fica acima do plano
(isto é, onde
). O conteúdo é cálculo de área de superfície de funções do tipo
, usando derivadas parciais e a fórmula de área.
Passo 2
Para uma superfície parametrizada por
, a área é dada por
onde
é a projeção da superfície no plano
. Aqui
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais:
Logo o integrando é
Passo 4
Determine a região
no plano
: como queremos
, impomos
Isso define uma região não limitada em
(vai de
até
) e em
(de
a
).
Passo 5
O integral de área fica
Como
independe de
, a integral interna em
é
Como a integral em
diverge para todo
, o valor de
torna-se infinito e não há convergência.
Passo 6
Conclusão: a área da parte do parabolóide acima do plano
é infinita.
Resposta
A área da superfície é infinita (diverge).