Esboce a trajetória da curva:
F(t)=(t, t, t^2)

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva paramétrica
F(t) = l(t,;t,;t^2r),
ou seja, uma curva em R^3. O conteúdo é “curvas paramétricas em R^3”, e vamos usar projeções em planos coordenados para entender sua forma.

Passo 2

Projete a curva no plano xy. Como
(x,y) = (t,t),
a projeção é a reta
y = x

Passo 3

Como y=t sempre igual a x=t, a curva está contida no plano
y = x

Passo 4

Projete agora em xz. Temos
(x,z) = l(t,;t^2r),
que é a parábola no plano xz dada por
z = x^2

Passo 5

Concluímos que a trajetória de F é exatamente a interseção do plano y=x com o cilindro parabólico z = x^2. No plano y=x, ela aparece como uma “U” — uma parábola que abre para cima em z.

Resposta

A curva é uma parábola no plano y = x com equação
z = x^2,
ou seja,
l(x,x,x^2)mid xinRr

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