Encontre a área de toda região interna à curva
(dada em coordenadas polares).
(d). A área está no intervalo
(d). A área está no intervalo
Passo 1
Vamos encontrar a área da região determinada pela curva em coordenadas polares r=cos2θ, no intervalo θ∈[3π/4,π[. O conteúdo é área em coordenadas polares e vamos precisar da fórmula de área A=½∫r²dθ.
Passo 2
A fórmula geral para área em coordenadas polares é
Aqui temos θ₁=3π/4 e θ₂=π.
Passo 3
Substituindo r(θ)=cos2θ na fórmula, obtemos
Passo 4
Para integrar, usamos a identidade trigonométrica
Substituindo na integral, fica
Passo 5
Agora calculamos a integral:
Portanto
Passo 6
Avaliando nos limites θ=π e θ=3π/4:
No superior: π + sin(4π)/4 = π + 0
No inferior: 3π/4 + sin(3π)/4 = 3π/4 + 0
Subtraindo e multiplicando por 1/4:
No superior: π + sin(4π)/4 = π + 0
No inferior: 3π/4 + sin(3π)/4 = 3π/4 + 0
Subtraindo e multiplicando por 1/4: