Encontre a área de toda região interna à curva r=cos 2 theta (dada em coordenadas polares).
(d). A área está no intervalo [3 pi / 4, pi[

Passo 1

Vamos encontrar a área da região determinada pela curva em coordenadas polares r=cos2θ, no intervalo θ∈[3π/4,π[. O conteúdo é área em coordenadas polares e vamos precisar da fórmula de área A=½∫r²dθ.

Passo 2

A fórmula geral para área em coordenadas polares é
A = 12 integralθ1^θ2 [r(θ)]^2 , dθ
Aqui temos θ₁=3π/4 e θ₂=π.

Passo 3

Substituindo r(θ)=cos2θ na fórmula, obtemos
A = 12 integral3pi/4^pi cos^2(2θ) , dθ

Passo 4

Para integrar, usamos a identidade trigonométrica
cos^2(2θ) = 1 + cos(4θ)2
Substituindo na integral, fica
A = 12 integral3pi/4^pi 1 + cos(4θ)2 , dθ = 14 integral3pi/4^pi l(1 + cos(4θ)r) , dθ

Passo 5

Agora calculamos a integral:
integral (1 + cos(4θ)) , dθ = θ + sin(4θ)4
Portanto
A = 14 l[θ + sin(4θ)4r]3pi/4^pi

Passo 6

Avaliando nos limites θ=π e θ=3π/4:
No superior: π + sin(4π)/4 = π + 0
No inferior: 3π/4 + sin(3π)/4 = 3π/4 + 0
Subtraindo e multiplicando por 1/4:
A = 14 l(π - tfrac3π4r) = 14 cdot π4 = π16

Resposta

π16

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