Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e
;
Passo 1
Temos as curvas
e
. Queremos a área da região limitada por elas. Este problema envolve cálculo de área por integrar a diferença entre as funções, então precisaremos encontrar os pontos de interseção e identificar qual é a função superior no intervalo.
Passo 2
Encontramos a interseção resolvendo
. Reescrevendo,
. Pela fórmula de Bhaskara,
, o que dá
e
.
Passo 3
Para ver qual curva fica por cima entre
e
, fazemos um esboço rápido: a parábola
abre para baixo com vértice em
, e a reta
é crescente, cortando o eixo
em 3. No intervalo dado, a parábola está acima da reta.
Passo 4
A área da região é dada pela integral da diferença entre a curva superior e a inferior no intervalo de interseção. Então escrevemos:
Podemos simplificar o integrando antes de integrar:
Passo 5
Para calcular, encontramos primeiro a antiderivada de
:
Agora avaliamos essa antiderivada de
até
:
Resposta
A área da região é
.