Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
y=5-x^2 e y=x+3;

Passo 1

Temos as curvas y = 5 - x^2 e y = x + 3. Queremos a área da região limitada por elas. Este problema envolve cálculo de área por integrar a diferença entre as funções, então precisaremos encontrar os pontos de interseção e identificar qual é a função superior no intervalo.

Passo 2

Encontramos a interseção resolvendo 5 - x^2 = x + 3. Reescrevendo, x^2 + x - 2 = 0. Pela fórmula de Bhaskara, x = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32, o que dá x = 1 e x = -2.

Passo 3

Para ver qual curva fica por cima entre x=-2 e x=1, fazemos um esboço rápido: a parábola y = 5 - x^2 abre para baixo com vértice em (0,5), e a reta y = x + 3 é crescente, cortando o eixo y em 3. No intervalo dado, a parábola está acima da reta.

Passo 4

A área da região é dada pela integral da diferença entre a curva superior e a inferior no intervalo de interseção. Então escrevemos:
integral-2^1 l[(5 - x^2) - (x + 3)r] , dx
Podemos simplificar o integrando antes de integrar:
integral-2^1 (2 - x - x^2), dx

Passo 5

Para calcular, encontramos primeiro a antiderivada de 2 - x - x^2:
2x - x^22 - x^33
Agora avaliamos essa antiderivada de -2 até 1:
l(2(1) - tfrac1^22 - tfrac1^33r) - l(2(-2) - tfrac(-2)^22 - tfrac(-2)^33r) = 76 - l(-tfrac103r) = 92

Resposta

A área da região é 9/2.

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