Expanda a função dada em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
f(z)=1z(z-3), 0<|z|<3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa expandir a função em uma série de Laurent válida no domínio anelar . Isso significa que vamos expressar como uma série que funciona bem dentro desse intervalo de valores para . Para isso, precisamos usar um pouco de álgebra e entender como as séries de potências funcionam na teoria de funções complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função usando frações parciais. Queremos escrever 1z(z-3) = Az + Bz-3 como a soma de duas frações mais simples. Então, temos:
1 = A(z-3) + Bz
Para encontrar 1 = A(-3) Rightarrow A = -13 e 1 = B cdot 3 Rightarrow B = 13 , multiplicamos ambos os lados por f(z) = -13z + 13(z-3) :
Agora, escolhemos valores de que facilitem a resolução. Se :
Se :
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos focar na parte 13(z-3) = -19 cdot 11 - z3 . Queremos expandir isso em uma série de potências válida para . Primeiro, reescrevemos a expressão:
Observamos que isso se parece com a soma de uma série geométrica , que é válida para . Aqui, , então a série converge quando .

Passo 4

Aplicando a série geométrica, temos:
13(z-3) = -19 sumn=0^infty ( z3 )^n = -19 ( 1 + z3 + ( z3 )^2 + ( z3 )^3 + cdots )

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão original de f(z) = -13z - 19 ( 1 + z3 + ( z3 )^2 + ( z3 )^3 + cdots ) :
f(z) = -13z - 19 - z27 - z^281 - z^3243 - cdots
Simplificando, temos:

Resposta

A série de Laurent de f(z) = -13z - 19 - z27 - z^281 - z^3243 - cdots válida para é:

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