Expanda a função dada em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa expandir a função
em uma série de Laurent válida no domínio anelar
. Isso significa que vamos expressar
como uma série que funciona bem dentro desse intervalo de valores para
. Para isso, precisamos usar um pouco de álgebra e entender como as séries de potências funcionam na teoria de funções complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função usando frações parciais. Queremos escrever
como a soma de duas frações mais simples. Então, temos:
Para encontrar
e
, multiplicamos ambos os lados por
:
Agora, escolhemos valores de
que facilitem a resolução. Se
:
Se
:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos focar na parte
. Queremos expandir isso em uma série de potências válida para
. Primeiro, reescrevemos a expressão:
Observamos que isso se parece com a soma de uma série geométrica
, que é válida para
. Aqui,
, então a série converge quando
.
Passo 4
Aplicando a série geométrica, temos:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na expressão original de
:
Simplificando, temos:
Resposta
A série de Laurent de
válida para
é: