Suponha que a função f seja representada pela série de potências
f(x)=1-x2+x^24-x^38+cdots+(-1)^k x^k2^k+cdots
Encontre o domínio de f.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f como série de potências
f(x)=1-x2+x^24-x^38+cdots+(-1)^kx^k2^k+cdots
Isso é conteúdo de séries de potências. Vamos precisar reconhecer que é uma série geométrica e usar o critério de convergência (teste da razão).

Passo 2

O termo geral é
ak = (-1)^kx^k2^k
Isso mostra que a série é geométrica com razão
r = ak+1ak = (-1)^k+1x^k+1/2^k+1(-1)^k x^k/2^k = -x2

Passo 3

Para uma série geométrica de razão r convergir, precisamos de
|r|<1
Aqui isso vira
l|-x2r|<1Longrightarrow|x|<2

Passo 4

Falta verificar os extremos: em x=2 a razão fica r=-1 e a série sum(-1)^k não converge; em x=-2 a razão é r=1 e a série sum1 também não converge. Portanto só converge para |x|<2.

Resposta

O domínio de f é o intervalo aberto (-2,2).

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