Aplicações da Transformada de Laplace na solução das EDOs.
Resolver
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver uma equação diferencial ordinária (EDO) usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
com as condições iniciais:
Vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A Transformada de Laplace de $ y’’ $ é:
Como $ y(0) = 0 $, isso simplifica para:
Vamos assumir que $ y’(0) = 0 $ para simplificar, a menos que seja especificado de outra forma.
Passo 3
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace na equação inteira:
Isso fica:
Novamente, assumindo que $ y’(0) = 0 $:
Passo 4
Agora, vamos resolver para $ Y(s) $:
Para facilitar a inversa, vamos decompor em frações parciais.
Passo 5
Decompondo em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por $ s^2 (s^2 + 9) $:
Expandindo e igualando os coeficientes:
Comparando os termos:
- $ s^3 $: $ A + C = 0 $
- $ s^2 $: $ B + D = 0 $
- $ s $: $ 9A = 0 $
- Constante: $ 9B = 18 $
Passo 6
Resolvendo as equações:
- De $ 9A = 0 $, temos $ A = 0 $.
- De $ A + C = 0 $, com $ A = 0 $, temos $ C = 0 $.
- De $ 9B = 18 $, temos $ B = 2 $.
- De $ B + D = 0 $, com $ B = 2 $, temos $ D = -2 $.
Então, a decomposição fica:
Passo 7
Agora, vamos achar a Transformada Inversa de Laplace para voltar para o domínio do tempo.
Sabemos que:
Então, a solução é:
Resposta
A solução da equação diferencial é: