Aplicações da Transformada de Laplace na solução das EDOs.
Resolver y^prime prime+9 y=18 t, y(0)=0, y(pi2)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver uma equação diferencial ordinária (EDO) usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
y'' + 9y = 18t
com as condições iniciais:
y(0) = 0
y(pi2) = 0
Vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A Transformada de Laplace de $ y’’ $ é:
y''
Como $ y(0) = 0 $, isso simplifica para:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Vamos assumir que $ y’(0) = 0 $ para simplificar, a menos que seja especificado de outra forma.

Passo 3

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace na equação inteira:
Ly'' + 9y = L18t
Isso fica:
s^2 Y(s) - y'(0) + 9 Y(s) = 18s^2
Novamente, assumindo que $ y’(0) = 0 $:
y'(0) = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver para $ Y(s) $:
Y(s)
Para facilitar a inversa, vamos decompor em frações parciais.

Passo 5

Decompondo em frações parciais:
18s^2 (s^2 + 9) = As + Bs^2 + Cs + Ds^2 + 9
Multiplicando ambos os lados por $ s^2 (s^2 + 9) $:
s^2 (s^2 + 9)
Expandindo e igualando os coeficientes:
18 = A s (s^2 + 9) + B (s^2 + 9) + (Cs + D) s^2
Comparando os termos:
  • $ s^3 $: $ A + C = 0 $
  • $ s^2 $: $ B + D = 0 $
  • $ s $: $ 9A = 0 $
  • Constante: $ 9B = 18 $

Passo 6

Resolvendo as equações:
  1. De $ 9A = 0 $, temos $ A = 0 $.
  2. De $ A + C = 0 $, com $ A = 0 $, temos $ C = 0 $.
  3. De $ 9B = 18 $, temos $ B = 2 $.
  4. De $ B + D = 0 $, com $ B = 2 $, temos $ D = -2 $.
Então, a decomposição fica:
9A = 0

Passo 7

Agora, vamos achar a Transformada Inversa de Laplace para voltar para o domínio do tempo.
Sabemos que:
L^-12s^2 = 2t
L^-12s^2 + 9 = 23 sin(3t)
Então, a solução é:
y(t) = 2t - 23 sin(3t)

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 2t - 23 sin(3t)

Exercícios relacionados