Encontre as áreas das regiões:
Dentro de r=1+\cos \theta e fora de r=1

Passo 1

O enunciado pede a área da região que é, ao mesmo tempo, “dentro de” r=1+\cos\theta e “fora de” r=1.
Informações dadas e perguntas explícitas:
  • As curvas envolvidas são a cardioide r=1+\cos\theta e o círculo r=1.
  • Queremos a área do conjunto de pontos que satisfazem simultaneamente r\le 1+\cos\theta (dentro da cardioide) e r\ge 1 (fora do círculo).
  • Precisamos determinar os limites angulares onde existe essa região e calcular sua área.

Passo 2

Encontrar os ângulos de interseção entre as curvas para saber onde a condição r\le 1+\cos\theta e r\ge1 pode acontecer simultaneamente. Igualamos as duas expressões de r:
1+\cos\theta = 1
isso dá
\cos\theta = 0.
As soluções básicas são \theta = \tfrac{\pi}{2} e \theta = \tfrac{3\pi}{2} (ou equivalente \theta = -\tfrac{\pi}{2}). Esses são os pontos onde as curvas se encontram (no “topo” e “fundo”).

Passo 3

Determinar para que ângulos a desigualdade 1+\cos\theta \ge 1 vale, porque só nesses ângulos a faixa radial entre r=1 e r=1+\cos\theta existe.
A condição 1+\cos\theta \ge 1 é equivalente a \cos\theta \ge 0. Isso ocorre para
\theta \in \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]
(um intervalo contínuo de comprimento \pi centrado em \theta=0). Para esses \theta, os pontos que estão dentro da cardioide mas fora do círculo têm r variando de r_{\text{in}}=1 até r_{\text{out}}=1+\cos\theta.

Passo 4

Lembrar a fórmula de área em coordenadas polares: para uma região radialmente limitada por r=r_{\text{out}}(\theta) e r=r_{\text{in}}(\theta) em \theta\in[a,b],
\text{Área}=\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\bigl(r_{\text{out}}(\theta)^2-r_{\text{in}}(\theta)^2\bigr)\,d\theta.Á
Aqui r_{\text{out}}(\theta)=1+\cos\theta e r_{\text{in}}(\theta)=1, com \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]. Assim
\text{Área}=\frac{1}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\bigl((1+\cos\theta)^2-1^2\bigr)\,d\theta.Á

Passo 5

Expandir o integrando para simplificar:
(1+\cos\theta)^2-1 = 1+2\cos\theta+\cos^2\theta-1 = 2\cos\theta+\cos^2\theta.
Portanto
\text{Área}=\frac{1}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\bigl(2\cos\theta+\cos^2\theta\bigr)\,d\theta.Á
Separando:
\text{Área}=\frac{1}{2}\left(2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta + \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta\right).Á

Passo 6

Calcular cada integral. Primeiro,
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta = \bigl[\sin\theta\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \sin(\tfrac{\pi}{2})-\sin(-\tfrac{\pi}{2}) = 1-(-1)=2.
Para \int\cos^2\theta\,d\theta usamos a identidade \cos^2\theta=\tfrac{1+\cos(2\theta)}{2}. Então
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \left[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin(2\theta)}{4}\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}.
Avaliar em \pi/2: \tfrac{\theta}{2}=\tfrac{\pi}{4}, \sin(2\theta)=\sin\pi=0. Em -\pi/2: \tfrac{\theta}{2}=-\tfrac{\pi}{4}, \sin(2\theta)=\sin(-\pi)=0. Portanto o resultado é
\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2}.

Passo 7

Substituir os valores encontrados na expressão da área:
\text{Área}=\frac{1}{2}\left(2\cdot 2 + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(4+\frac{\pi}{2}\right) = 2 + \frac{\pi}{4}.Á
Interpretação rápida: essa é a área do “bojo” da cardioide que fica à direita do círculo r=1, entre as interseções \theta=\pm\tfrac{\pi}{2}. Sei que parece muito conta num tempo curto, mas seguimos passo a passo — você consegue fazer isso na prova também!

Resposta

2+\dfrac{\pi}{4}

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