Encontre as áreas das regiões:
Dentro de
e fora de
Dentro de
Passo 1
O enunciado pede a área da região que é, ao mesmo tempo, “dentro de”
e “fora de”
.
Informações dadas e perguntas explícitas:
Informações dadas e perguntas explícitas:
- As curvas envolvidas são a cardioide
e o círculo . - Queremos a área do conjunto de pontos que satisfazem simultaneamente
(dentro da cardioide) e (fora do círculo). - Precisamos determinar os limites angulares onde existe essa região e calcular sua área.
Passo 2
Encontrar os ângulos de interseção entre as curvas para saber onde a condição
e
pode acontecer simultaneamente. Igualamos as duas expressões de
:
isso dá
As soluções básicas são
e
(ou equivalente
). Esses são os pontos onde as curvas se encontram (no “topo” e “fundo”).
Passo 3
Determinar para que ângulos a desigualdade
vale, porque só nesses ângulos a faixa radial entre
e
existe.
A condição é equivalente a
. Isso ocorre para
A condição
(um intervalo contínuo de comprimento
centrado em
). Para esses
, os pontos que estão dentro da cardioide mas fora do círculo têm
variando de
até
.
Passo 4
Lembrar a fórmula de área em coordenadas polares: para uma região radialmente limitada por
e
em
,
Aqui
e
, com
. Assim
Passo 5
Expandir o integrando para simplificar:
Portanto
Separando:
Passo 6
Calcular cada integral. Primeiro,
Para
usamos a identidade
. Então
Avaliar em
:
,
. Em
:
,
. Portanto o resultado é
Passo 7
Substituir os valores encontrados na expressão da área:
Interpretação rápida: essa é a área do “bojo” da cardioide que fica à direita do círculo
, entre as interseções
. Sei que parece muito conta num tempo curto, mas seguimos passo a passo — você consegue fazer isso na prova também!