Encontre as áreas das regiões:
Dentro de
(lemniscata)
Dentro de
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares
(uma lemniscata) e pede as áreas das regiões “dentro” dessa curva. Informações relevantes que temos:
- A equação é
. - Precisamos calcular áreas das regiões fechadas por essa curva (os dois “lóbos” da lemniscata).
- Como a curva está em coordenadas polares, vamos trabalhar com integrais em
.
Não começo a resolver aqui; apenas identifiquei o que foi dado e o que se pede.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula que usa-se para área em coordenadas polares. Se uma curva é dada por
, a área da região limitada por essa curva entre
e
é
Explicação didática: em coordenadas polares, um pequeno setor angular
com raio
tem área aproximada
. Somando (integrando) esses setores obtemos a fórmula acima. Aqui
é a distância do ponto ao polo (origem) e
é o ângulo polar.
Passo 3
Agora aplicamos ao nosso caso. A equação dada é
. Para que
seja real precisamos de
, ou seja:
Vamos achar os intervalos de
onde isso ocorre. Sabemos que
quando
está em
módulo
. Colocando
, obtemos intervalos para
:
e, adicionando
a
(período de
é
, mas pela duplicidade aparecem dois intervalos por período de
),
Esses dois intervalos correspondem aos dois lóbulos da lemniscata. Note que, por simetria, os dois lóbulos têm a mesma área, então basta calcular a área de um lobo (por exemplo o que corresponde a
) e dobrar para obter a área total.
Passo 4
Calculemos a área de um lobo usando a fórmula da Passo 2. Tomando o intervalo
e substituindo
, temos
Agora explico a integral passo a passo. A primitiva de
em relação a
é
, porque:
Assim a área fica
Agora avalio os senos:
e
. Substituindo,
Portanto, a área de cada lobo é
.
Passo 5
Como os dois lóbulos têm a mesma área, a área total dentro da lemniscata é o dobro da área de um lobo:
Resposta
Área de cada lobo:
Área total:
Área total: