Encontre as áreas das regiões:
Dentro de r^{2}=\cos 2 \theta (lemniscata)

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares \;r^{2}=\cos 2\theta\; (uma lemniscata) e pede as áreas das regiões “dentro” dessa curva. Informações relevantes que temos:
  • A equação é \;r^{2}=\cos 2\theta\;.
  • Precisamos calcular áreas das regiões fechadas por essa curva (os dois “lóbos” da lemniscata).
  • Como a curva está em coordenadas polares, vamos trabalhar com integrais em \theta.
    Não começo a resolver aqui; apenas identifiquei o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que usa-se para área em coordenadas polares. Se uma curva é dada por \;r=r(\theta)\;, a área da região limitada por essa curva entre \theta=a e \theta=b é
\text{Área}=\frac{1}{2}\int_{a}^{b} r(\theta)^{2}\,d\theta.Á
Explicação didática: em coordenadas polares, um pequeno setor angular \Delta\theta com raio r tem área aproximada \tfrac{1}{2}r^{2}\Delta\theta. Somando (integrando) esses setores obtemos a fórmula acima. Aqui r(\theta) é a distância do ponto ao polo (origem) e \theta é o ângulo polar.

Passo 3

Agora aplicamos ao nosso caso. A equação dada é \;r^{2}=\cos 2\theta\;. Para que r seja real precisamos de \;r^{2}\ge 0\;, ou seja:
\cos 2\theta \ge 0.
Vamos achar os intervalos de \theta onde isso ocorre. Sabemos que \cos\varphi\ge 0 quando \varphi está em [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] módulo 2\pi. Colocando \varphi=2\theta, obtemos intervalos para \theta:
2\theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]\Rightarrow \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\right]
e, adicionando \pi a 2\theta (período de \cos é 2\pi, mas pela duplicidade aparecem dois intervalos por período de \theta),
2\theta\in\left[\tfrac{3\pi}{2},\tfrac{5\pi}{2}\right]\Rightarrow \theta\in\left[\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}\right].
Esses dois intervalos correspondem aos dois lóbulos da lemniscata. Note que, por simetria, os dois lóbulos têm a mesma área, então basta calcular a área de um lobo (por exemplo o que corresponde a \theta\in[-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}]) e dobrar para obter a área total.

Passo 4

Calculemos a área de um lobo usando a fórmula da Passo 2. Tomando o intervalo \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\right] e substituindo \;r^{2}=\cos 2\theta\;, temos
\text{Área}_{\text{lobo}}=\frac{1}{2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos 2\theta\,d\theta.Á
Agora explico a integral passo a passo. A primitiva de \cos 2\theta em relação a \theta é \tfrac{1}{2}\sin 2\theta, porque:
\frac{d}{d\theta}\left(\tfrac{1}{2}\sin 2\theta\right)=\tfrac{1}{2}\cdot 2\cos 2\theta=\cos 2\theta.
Assim a área fica
\text{Área}_{\text{lobo}}=\frac{1}{2}\left[\tfrac{1}{2}\sin 2\theta\right]_{-\pi/4}^{\pi/4}=\frac{1}{4}\bigl(\sin(\tfrac{\pi}{2})-\sin(-\tfrac{\pi}{2})\bigr).Á
Agora avalio os senos: \sin(\tfrac{\pi}{2})=1 e \sin(-\tfrac{\pi}{2})=-1. Substituindo,
\text{Área}_{\text{lobo}}=\frac{1}{4}(1-(-1))=\frac{1}{4}\cdot 2=\frac{1}{2}.Á
Portanto, a área de cada lobo é \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Como os dois lóbulos têm a mesma área, a área total dentro da lemniscata é o dobro da área de um lobo:
\text{Área}_{\text{total}}=2\cdot \frac{1}{2}=1.Á

Resposta

Área de cada lobo: \frac{1}{2}
Área total: 1

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