Encontre uma equação polar para as curvas representadas pelas equações cartesianas:
y=2 x

Passo 1

O enunciado dá a equação cartesiana \,y=2x\, e pede uma equação equivalente em coordenadas polares.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A relação entre x e y é linear: \,y=2x\,.
  • Não há outros dados numéricos além do coeficiente angular 2.
    A tarefa é transformar essa condição em uma equação que envolva as variáveis polares \,r e \theta.

Passo 2

Vamos recordar as fórmulas de conversão entre coordenadas cartesianas (x,y) e polares (r,\theta) — aqui é onde ensino a parte necessária, passo a passo:
  • Em coordenadas polares, r é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo que o raio faz com o eixo x.
  • As fórmulas de conversão são
x = r\cos\theta
y = r\sin\theta
Explicação das variáveis: \,r\in\mathbb{R} (normalmente tomamos r\ge 0 e permitimos \theta em \mathbb{R}), e \theta é o ângulo em radianos. Essas fórmulas vêm da decomposição do vetor posição em componentes ao longo dos eixos x e y.

Passo 3

Agora substituímos x e y da definição polar na equação dada \,y=2x\,. Substituindo:
r\sin\theta = 2\,r\cos\theta
Este passo é só uma troca direta usando as fórmulas do passo anterior.

Passo 4

Trabalhando a equação do passo anterior: temos
r\sin\theta = 2\,r\cos\theta.
Podemos analisar dois casos separados: r=0 e r\neq 0.
  • Caso r=0: isso representa o ponto na origem; a origem satisfaz a equação cartesiana e portanto está incluída na curva polar.
  • Caso r\neq 0: podemos dividir ambos os lados por r (pois não é zero) e obter
\sin\theta = 2\cos\theta.
Aqui usei a propriedade básica de equações: se r\neq 0 então dividir por r é válido e preserva soluções.

Passo 5

Da igualdade \sin\theta = 2\cos\theta passamos para a tangente (lembrando que \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} quando \cos\theta\neq 0):
\tan\theta = 2.
Explicando: esta transformação é válida sempre que \cos\theta\neq 0; se \cos\theta=0 então \tan\theta não existe e a igualdade original \sin\theta = 2\cos\theta não é satisfeita (pois então \sin\theta=\pm1 e 2\cos\theta=0, impossível). Portanto a condição correta para os pontos (com r\neq 0) é \tan\theta=2.

Passo 6

Interpretando geometricamente e escrevendo a solução em forma explícita de \theta: a equação \tan\theta=2 significa que \theta é um ângulo cujo tangente vale 2. As soluções gerais são
\theta = \arctan 2 + k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
porque a função tangente tem período \pi. Isso descreve exatamente a reta que passa pela origem com declive 2: fixando \theta nesse valor e deixando r variar (incluindo r=0), obtemos todos os pontos da reta \,y=2x\,.

Passo 7

Resumo operacional — formas usuais de escrever a equação polar da reta dada:
  • Forma simples usando tangente:
\tan\theta = 2.
  • Forma explícita do ângulo:
\theta = \arctan 2 + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Em ambas as formas, r é livre (qualquer r real, ou tipicamente r\ge 0 com \theta ajustado), e o ponto r=0 (origem) também pertence à curva.

Resposta

\tan\theta = 2
\theta = \arctan 2 + k\pi,\;k\in\mathbb{Z}

Exercícios relacionados