Encontre uma equação polar para as curvas representadas pelas equações cartesianas:
Passo 1
O enunciado dá a equação cartesiana
e pede uma equação equivalente em coordenadas polares.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A relação entre
e é linear: . - Não há outros dados numéricos além do coeficiente angular
.
A tarefa é transformar essa condição em uma equação que envolva as variáveis polarese .
Passo 2
Vamos recordar as fórmulas de conversão entre coordenadas cartesianas
e polares
— aqui é onde ensino a parte necessária, passo a passo:
- Em coordenadas polares,
é a distância do ponto à origem e é o ângulo que o raio faz com o eixo . - As fórmulas de conversão são
Explicação das variáveis:
(normalmente tomamos
e permitimos
em
), e
é o ângulo em radianos. Essas fórmulas vêm da decomposição do vetor posição em componentes ao longo dos eixos
e
.
Passo 3
Agora substituímos
e
da definição polar na equação dada
. Substituindo:
Este passo é só uma troca direta usando as fórmulas do passo anterior.
Passo 4
Trabalhando a equação do passo anterior: temos
Podemos analisar dois casos separados:
e
.
-
Caso
: isso representa o ponto na origem; a origem satisfaz a equação cartesiana e portanto está incluída na curva polar. -
Caso
: podemos dividir ambos os lados por (pois não é zero) e obter
Aqui usei a propriedade básica de equações: se
então dividir por
é válido e preserva soluções.
Passo 5
Da igualdade
passamos para a tangente (lembrando que
quando
):
Explicando: esta transformação é válida sempre que
; se
então
não existe e a igualdade original
não é satisfeita (pois então
e
, impossível). Portanto a condição correta para os pontos (com
) é
.
Passo 6
Interpretando geometricamente e escrevendo a solução em forma explícita de
: a equação
significa que
é um ângulo cujo tangente vale
. As soluções gerais são
porque a função tangente tem período
. Isso descreve exatamente a reta que passa pela origem com declive
: fixando
nesse valor e deixando
variar (incluindo
), obtemos todos os pontos da reta
.
Passo 7
Resumo operacional — formas usuais de escrever a equação polar da reta dada:
- Forma simples usando tangente:
- Forma explícita do ângulo:
Em ambas as formas,
é livre (qualquer
real, ou tipicamente
com
ajustado), e o ponto
(origem) também pertence à curva.