Calcule os comprimentos das curvas polares:
Passo 1
O enunciado dá a curva polar
no intervalo
. A pergunta é: calcular o comprimento da curva para esse intervalo de
.
Informações relevantes dadas: a expressão de e os limites de integração
e
. Nada mais é pedido além do comprimento.
Informações relevantes dadas: a expressão de
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicada): o comprimento de arco de uma curva em coordenadas polares
, para
variando de
a
, é dado por
Por que essa fórmula? Podemos pensar que a curva polar é parametricamente dada por
e o comprimento é
. Ao derivar
e
e simplificar, chega-se à fórmula acima. Aqui
é a distância do ponto à origem e
é a taxa de variação radial com
.
Passo 3
Calcular
. Temos
Usando a regra da cadeia: se
e
, então
Agora
e
. Multiplicando,
Passo 4
Montar o integrando da fórmula do comprimento:
Somando:
Portanto o integrando fica
. Como
para todo
, temos
Logo o comprimento é
Passo 5
Para integrar
usamos a identidade trigonométrica
Aplicando com
,
Substituindo na integral,
Passo 6
Calcular as duas integrais separadamente.
Primeira:
Primeira:
Segunda: para
use antiderivada. Se
, então
Portanto
Sabendo que
e
, temos
Finalmente,