Calcule os comprimentos das curvas polares:
r=\sin ^{3}(\theta / 3), 0 \leq \theta \leq \pi

Passo 1

O enunciado dá a curva polar
r(\theta)=\sin^{3}\!\bigl(\tfrac{\theta}{3}\bigr)
no intervalo \,0\le\theta\le\pi. A pergunta é: calcular o comprimento da curva para esse intervalo de \theta.
Informações relevantes dadas: a expressão de r(\theta) e os limites de integração \theta=0 e \theta=\pi. Nada mais é pedido além do comprimento.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada): o comprimento de arco de uma curva em coordenadas polares r(\theta), para \theta variando de a a b, é dado por
L=\int_{a}^{b}\sqrt{r(\theta)^{2}+\biggl(\frac{dr}{d\theta}\biggr)^{2}}\,d\theta.
Por que essa fórmula? Podemos pensar que a curva polar é parametricamente dada por
x(\theta)=r(\theta)\cos\theta,\qquad y(\theta)=r(\theta)\sin\theta,
e o comprimento é \displaystyle L=\int_{a}^{b}\sqrt{\bigl(\tfrac{dx}{d\theta}\bigr)^{2}+\bigl(\tfrac{dy}{d\theta}\bigr)^{2}}\,d\theta. Ao derivar x e y e simplificar, chega-se à fórmula acima. Aqui r(\theta) é a distância do ponto à origem e \tfrac{dr}{d\theta} é a taxa de variação radial com \theta.

Passo 3

Calcular \dfrac{dr}{d\theta}. Temos
r(\theta)=\sin^{3}\!\bigl(\tfrac{\theta}{3}\bigr).
Usando a regra da cadeia: se r(u)=\sin^{3}u e u=\tfrac{\theta}{3}, então
\frac{dr}{d\theta}=\frac{dr}{du}\cdot\frac{du}{d\theta}.
Agora \dfrac{dr}{du}=3\sin^{2}u\cos u e \dfrac{du}{d\theta}=\tfrac{1}{3}. Multiplicando,
\frac{dr}{d\theta}=3\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\theta}{3}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{\theta}{3}\bigr)\cdot\tfrac{1}{3} =\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\theta}{3}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{\theta}{3}\bigr).

Passo 4

Montar o integrando da fórmula do comprimento:
r(\theta)^{2}=\sin^{6}\!\bigl(\tfrac{\theta}{3}\bigr), \qquad \Bigl(\frac{dr}{d\theta}\Bigr)^{2}=\sin^{4}\!\bigl(\tfrac{\theta}{3}\bigr)\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{\theta}{3}\bigr).
Somando:
r^{2}+\Bigl(\frac{dr}{d\theta}\Bigr)^{2} =\sin^{4}\!\bigl(\tfrac{\theta}{3}\bigr)\bigl(\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\theta}{3}\bigr)+\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{\theta}{3}\bigr)\bigr) =\sin^{4}\!\bigl(\tfrac{\theta}{3}\bigr)\cdot 1 =\sin^{4}\!\bigl(\tfrac{\theta}{3}\bigr).
Portanto o integrando fica \sqrt{\sin^{4}(\theta/3)}. Como \sin^{4}(\theta/3)\ge 0 para todo \theta, temos
\sqrt{\sin^{4}\!\bigl(\tfrac{\theta}{3}\bigr)}=\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\theta}{3}\bigr).
Logo o comprimento é
L=\int_{0}^{\pi}\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\theta}{3}\bigr)\,d\theta.

Passo 5

Para integrar \sin^{2} usamos a identidade trigonométrica
\sin^{2}u=\frac{1-\cos(2u)}{2}.
Aplicando com u=\tfrac{\theta}{3},
\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\theta}{3}\bigr)=\frac{1-\cos\!\bigl(\tfrac{2\theta}{3}\bigr)}{2}.
Substituindo na integral,
L=\int_{0}^{\pi}\frac{1-\cos\!\bigl(\tfrac{2\theta}{3}\bigr)}{2}\,d\theta =\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}1\,d\theta-\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos\!\bigl(\tfrac{2\theta}{3}\bigr)\,d\theta.

Passo 6

Calcular as duas integrais separadamente.
Primeira:
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}1\,d\theta=\frac{1}{2}\bigl[\theta\bigr]_{0}^{\pi}=\frac{\pi}{2}.
Segunda: para \int \cos\!\bigl(\tfrac{2\theta}{3}\bigr)\,d\theta use antiderivada. Se k=\tfrac{2}{3}, então
\int \cos(k\theta)\,d\theta=\frac{1}{k}\sin(k\theta).
Portanto
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos\!\bigl(\tfrac{2\theta}{3}\bigr)\,d\theta =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(2/3)}\bigl[\sin\!\bigl(\tfrac{2\theta}{3}\bigr)\bigr]_{0}^{\pi} =\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\bigl(\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr)-\sin 0\bigr).
Sabendo que \sin\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr)=\sin 120^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin 0=0, temos
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos\!\bigl(\tfrac{2\theta}{3}\bigr)\,d\theta=\frac{3}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{8}.
Finalmente,
L=\frac{\pi}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{8}.

Resposta

\displaystyle L=\frac{\pi}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{8}

Exercícios relacionados