Força resultante
Um corpo de massa m=2 kg move-se com posição vetorial:
r(t)=t^3 i+4 t^2 j+5 k
a) Encontre a aceleração vetorial.
b) Calcule a força resultante aplicada ao corpo usando a Segunda Lei de Newton.
c) Verifique a direção da força no instante t=1 s.

Passo 1

O enunciado nos dá um corpo de massa m=2,kg cuja posição em função do tempo é
r(t)=t^3,i+4,t^2,j+5,k
Para resolver precisamos usar cinemática vetorial (derivar para obter velocidade e aceleração) e depois aplicar a Segunda Lei de Newton ( F=m,a). Por fim, no instante t=1,s, vamos analisar a direção da força.

Passo 2

A velocidade é a derivada da posição:
v(t)=drdt =ddtl(t^3r),i+ddtl(4,t^2r),j+ddt(5),k =3,t^2,i+8,t,j+0,k

Passo 3

A aceleração é a derivada da velocidade:
a(t)=dvdt =ddtl(3,t^2r),i+ddtl(8,tr),j+ddt(0),k =6,t,i+8,j+0,k

Passo 4

Pela Segunda Lei de Newton temos
F(t)=m,a(t) =2l(6,t,i+8,jr) =12,t,i+16,j

Passo 5

No instante t=1,s a força vale
F(1)=12:i+16:j
Para achar a direção, construímos o versor
u =F(1)lVertF(1)rVert =12,i+16,jraiz12^2+16^2 =12,i+16,j20 =35,i+45,j
Isso mostra que, em t=1,s, a força está no plano xy formando um ângulo arctanl(tfrac43r)approx53,1^circ acima do eixo x.

Resposta

(a) a(t)=6,t,i+8,j+0,k
(b) F(t)=12,t,i+16,j
(c) No instante t=1,s, F(1)=12,i+16,j e a direção é dada pelo versor tfrac35,i+tfrac45,j.

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