Encontre as áreas das regiões limitadas pelos
gráficos de f(x)=x^2 e g(x)=x^2-2 x+4 e o eixo vertical.

Passo 1

O enunciado quer a área da região fechada pelas curvas
f(x)=x^2, g(x)=x^2-2x+4
e pela reta vertical x=0.
Como essas curvas se cruzam num ponto e ambas passam por x=0, temos um único “fechamento” finito entre x=0 e o ponto de interseção. Para resolver, precisamos:
  1. Encontrar o ponto onde f(x)=g(x).
  2. Verificar em que intervalo uma está acima da outra.
  3. Calcular a área pela integral da diferença entre as duas funções, de x=0 até o ponto de interseção.

Passo 2

Igualamos
x^2 = x^2 -2x +4
e obtemos
-2x +4 = 0 Longrightarrow x=2
Logo as curvas se cruzam em x=2, no ponto (2,4).

Passo 3

Para 0<= x<=2, vemos que
g(x)-f(x) = l(x^2-2x+4r) - x^2 = -2x +4
Esse é o “espelho” vertical da região: em cada x no intervalo [0,2], a distância vertical entre g e f.

Passo 4

A área pedida é
A = integralx=0^2 l[g(x)-f(x)r],dx = integral0^2(-2x+4),dx
Calculando a integral:
integral(-2x+4),dx = -x^2 +4x,
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A = l[-x^2 +4xr]0^2 = l(-4 +8r) - 0 = 4

Resposta

A área da região limitada por f(x)=x^2, g(x)=x^2-2x+4 e a reta x=0 é 4 unidades de área.

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