Encontre as áreas das regiões limitadas pelos
(star) gráfico de f(x)=raizx, o eixo horizontal, e a recta vertical que passa por (2,0). (Não procure calcular integral0^2 raizx d x; deve procurar uma forma de encontrar a resposta, usando apenas as integrais que já avaliamos).

Passo 1

O enunciado pede a área sob a curva f(x)=raizx entre x=0 e x=2, isto é
integral0^2raizx,dx,
mas quer que a gente use só integrais já avaliadas, sem calcular essa integral diretamente.

Passo 2

Repare que f(x)=raizx é invertível, com inversa g(y)=y^2. Há um resultado que diz:
integral0^af(x),dx ;+;integral0^f(a)g(y),dy ;=;a,f(a)

Passo 3

Aplicando esse resultado para a=2, temos f(2)=raiz2, logo
integral0^2raizx,dx ;+;integral0^raiz2y^2,dy ;=;2cdotraiz2

Passo 4

Já sabemos a integral de y^2:
integral0^raiz2y^2,dy =[y^33]0^raiz2 =(raiz2)^33 =2raiz23
Chame I=integral0^2raizx,dx. Substituindo:
I+2raiz23=2raiz2 Longrightarrow I=2raiz2-2raiz23 =6raiz2-2raiz23 =4raiz23

Resposta

4raiz23

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