(\star)) Prove que se
é integrável em
e
para todo
em
, então
.
Passo 1
O enunciado diz que
é integrável em
e que
para todo
. Queremos mostrar que
Para isso, vamos usar a definição de integral de Darboux, baseada em somas inferiores.
Passo 2
Seja
uma partição de
. Para cada subintervalo
definimos
e a soma inferior
A integral inferior de
em
é
Como
f é integrável, a integral de Darboux coincide com a integral propriamente dita:
Passo 3
Pela hipótese,
f(x)>=0 em todo
[a,b] . Logo, em cada subintervalo
[xi-1,xi] temos
Isto implica que, para qualquer partição
P ,
Passo 4
Como
L(f,P)>=0 para todo
P , o supremo das somas inferiores satisfaz
Mas essa é justamente a definição da integral de
f . Portanto,