(\star)) Prove que se f é integrável em [a, b] e f(x) >= 0 para todo x em [a, b], então integrala^b f >= 0.

Passo 1

O enunciado diz que f é integrável em [a,b] e que f(x)>=0 para todo xin[a,b]. Queremos mostrar que
integrala^bf(x),dx>=0
Para isso, vamos usar a definição de integral de Darboux, baseada em somas inferiores.

Passo 2

Seja P=a=x0<x1<cdots<xn=b uma partição de [a,b]. Para cada subintervalo [xi-1,xi] definimos
mi ;=;inf,f(x):xin[xi-1,xi],
e a soma inferior
L(f,P);=;sumi=1^nmi,(xi-xi-1)
A integral inferior de f em [a,b] é
integrala^bf =supPL(f,P)
Como f é integrável, a integral de Darboux coincide com a integral propriamente dita:
integrala^bf =integrala^bf =supPL(f,P)

Passo 3

Pela hipótese, f(x)>=0 em todo [a,b]. Logo, em cada subintervalo [xi-1,xi] temos
mi =inff(x) >=0
Isto implica que, para qualquer partição P,
L(f,P) =sumi=1^nmi,(xi-xi-1) >=sumi=1^n0cdot(xi-xi-1) =0

Passo 4

Como L(f,P)>=0 para todo P, o supremo das somas inferiores satisfaz
supPL(f,P)>=0
Mas essa é justamente a definição da integral de f. Portanto,
integrala^bf =supPL(f,P) >=0

Resposta

integrala^bf(x),dx>=0

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