Encontre as áreas das superfícies geradas pela rotação das curvas polares em torno do eixo indicado:
r=1+\cos \theta, 0 \leq \theta \leq \pi, eixo polar

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a área da superfície gerada pela rotação da curva polar r=1+\cos\theta, com 0\le \theta\le \pi, em torno do eixo polar (ou seja, em torno do eixo \theta=0, que é o eixo x no plano).\n
Dados fornecidos:
r(\theta)=1+\cos\theta,\qquad 0\le\theta\le\pi,
e a rotação é em torno do eixo polar (eixo x).\n
O que devemos calcular: a área da superfície formada quando o arco da curva, para \theta variando de 0 a \pi, é girado em torno do eixo x.

Passo 2

Fórmula básica (aula rápida): se uma curva plana é girada em torno do eixo x, a área da superfície é dada por
S=2\pi\int_{a}^{b} y\,ds,
onde y é a distância (perpendicular) do ponto da curva até o eixo de rotação e ds é o elemento de comprimento de arco da curva. Aqui usaremos essa fórmula com a parametrização pela variável \theta.

Passo 3

Expressar y e ds em coordenadas polares.\n
A relação entre coordenadas polares e Cartesianas é
x=r(\theta)\cos\theta,\qquad y=r(\theta)\sin\theta.
Portanto, a distância ao eixo x (eixo polar) é
y=r(\theta)\sin\theta.

Passo 4

Agora precisamos do elemento de arco ds quando a curva é dada por r(\theta).\n
Derivando x e y em relação a \theta e aplicando ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}, obtemos a fórmula padrão em coordenadas polares:
ds=\sqrt{r(\theta)^2+\left(\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2}\;d\theta.
Explicando por que: dx/d\theta = r'(\theta)\cos\theta - r(\theta)\sin\theta e dy/d\theta = r'(\theta)\sin\theta + r(\theta)\cos\theta. Somando os quadrados e simplificando aparece r^2+(r')^2.

Passo 5

Aplicar a fórmula do Passo 2 usando y=r\sin\theta e ds=\sqrt{r^2+(dr/d\theta)^2}\,d\theta. Assim
S=2\pi\int_{0}^{\pi} \bigl(r(\theta)\sin\theta\bigr)\,\sqrt{r(\theta)^2+\bigl(r'(\theta)\bigr)^2}\;d\theta.
Agora substituímos r(\theta)=1+\cos\theta. Calculamos r'(\theta):
r'(\theta)=-\sin\theta.

Passo 6

Calcular o termo dentro da raiz:
r(\theta)^2+\bigl(r'(\theta)\bigr)^2=(1+\cos\theta)^2+(\,-\sin\theta\,)^2.
Desenvolvendo:
(1+\cos\theta)^2+\sin^2\theta=1+2\cos\theta+\cos^2\theta+\sin^2\theta=2+2\cos\theta=2(1+\cos\theta).
Logo
\sqrt{r^2+(r')^2}=\sqrt{2(1+\cos\theta)}.
Usando a identidade de meia-ângulo 1+\cos\theta=2\cos^2(\theta/2), obtemos
\sqrt{2(1+\cos\theta)}=\sqrt{2\cdot 2\cos^2(\theta/2)}=2\cos(\theta/2),
para 0\le\theta\le\pi a função \cos(\theta/2) é não negativa, então não precisamos do valor absoluto.

Passo 7

Substituir tudo na integral de S. Primeiro escrevemos r\sin\theta:
r(\theta)\sin\theta=(1+\cos\theta)\sin\theta.
Portanto
S=2\pi\int_{0}^{\pi} (1+\cos\theta)\sin\theta\;\sqrt{2(1+\cos\theta)}\;d\theta.
Substituindo a expressão da raiz em termos de \cos(\theta/2):
S=2\pi\int_{0}^{\pi} (1+\cos\theta)\sin\theta\;2\cos(\theta/2)\;d\theta=4\pi\int_{0}^{\pi} (1+\cos\theta)\sin\theta\cos(\theta/2)\;d\theta.

Passo 8

Simplificar usando identidades de meia-ângulo. Usamos
1+\cos\theta=2\cos^2(\theta/2),\qquad \sin\theta=2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2).
Multiplicando:
(1+\cos\theta)\sin\theta = 2\cos^2(\theta/2)\cdot 2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)=4\sin(\theta/2)\cos^3(\theta/2).
Multiplicando por \cos(\theta/2) (o fator extra da raiz) dá
(1+\cos\theta)\sin\theta\cos(\theta/2)=4\sin(\theta/2)\cos^4(\theta/2).
Assim a integral fica
S=4\pi\int_{0}^{\pi} 4\sin(\theta/2)\cos^4(\theta/2)\;d\theta=16\pi\int_{0}^{\pi} \sin(\theta/2)\cos^4(\theta/2)\;d\theta.

Passo 9

Fazer a substituição u=\cos(\theta/2). Então du=-(1/2)\sin(\theta/2)\,d\theta, ou seja \sin(\theta/2)\,d\theta=-2\,du.\n
Quando \theta=0 temos u=\cos 0=1. Quando \theta=\pi temos u=\cos(\pi/2)=0.\n
A integral passa a ser
S=16\pi\int_{\theta=0}^{\theta=\pi} \sin(\theta/2)\cos^4(\theta/2)\;d\theta =16\pi\int_{u=1}^{u=0} u^4\;(-2)\,du.
Isso é
S=32\pi\int_{0}^{1} u^4\,du.

Passo 10

Calcular a integral final:
\int_{0}^{1} u^4\,du=\left[\dfrac{u^5}{5}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{5}.
Portanto
S=32\pi\cdot \dfrac{1}{5}=\dfrac{32\pi}{5}.

Resposta

\displaystyle \dfrac{32\pi}{5}

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