Encontre as áreas das superfícies geradas pela rotação das curvas polares em torno do eixo indicado:
, eixo polar
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a área da superfície gerada pela rotação da curva polar
, com
, em torno do eixo polar (ou seja, em torno do eixo
, que é o eixo
no plano).\n
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
e a rotação é em torno do eixo polar (eixo
).\n
O que devemos calcular: a área da superfície formada quando o arco da curva, para variando de
a
, é girado em torno do eixo
.
O que devemos calcular: a área da superfície formada quando o arco da curva, para
Passo 2
Fórmula básica (aula rápida): se uma curva plana é girada em torno do eixo
, a área da superfície é dada por
onde
é a distância (perpendicular) do ponto da curva até o eixo de rotação e
é o elemento de comprimento de arco da curva. Aqui usaremos essa fórmula com a parametrização pela variável
.
Passo 3
Expressar
e
em coordenadas polares.\n
A relação entre coordenadas polares e Cartesianas é
A relação entre coordenadas polares e Cartesianas é
Portanto, a distância ao eixo
(eixo polar) é
Passo 4
Agora precisamos do elemento de arco
quando a curva é dada por
.\n
Derivando e
em relação a
e aplicando
, obtemos a fórmula padrão em coordenadas polares:
Derivando
Explicando por que:
e
. Somando os quadrados e simplificando aparece
.
Passo 5
Aplicar a fórmula do Passo 2 usando
e
. Assim
Agora substituímos
. Calculamos
:
Passo 6
Calcular o termo dentro da raiz:
Desenvolvendo:
Logo
Usando a identidade de meia-ângulo
, obtemos
para
a função
é não negativa, então não precisamos do valor absoluto.
Passo 7
Substituir tudo na integral de
. Primeiro escrevemos
:
Portanto
Substituindo a expressão da raiz em termos de
:
Passo 8
Simplificar usando identidades de meia-ângulo. Usamos
Multiplicando:
Multiplicando por
(o fator extra da raiz) dá
Assim a integral fica
Passo 9
Fazer a substituição
. Então
, ou seja
.\n
Quando temos
. Quando
temos
.\n
A integral passa a ser
Quando
A integral passa a ser
Isso é
Passo 10
Calcular a integral final:
Portanto