Encontre as áreas das superfícies geradas pela rotação das curvas polares em torno do eixo indicado:
r=\sin \theta, 0 \leq \theta \leq \pi, eixo \theta=\pi / 2

Passo 1

O enunciado dá a curva polar \;r=\sin\theta,\;0\le\theta\le\pi\; e pede a área da superfície gerada ao girar essa curva em torno do eixo \theta=\pi/2.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva está em coordenadas polares e é dada por \;r(\theta)=\sin\theta\; para \theta\in[0,\pi].
  • O eixo de rotação é a reta que, no plano, tem direção \theta=\pi/2 (essa reta é o eixo y no sistema cartesiano).
  • Queremos a área da superfície gerada pela rotação dessa curva em torno desse eixo.

Passo 2

Primeiro vamos entender geometricamente a curva passando para coordenadas cartesianas (isso facilita muito a intuição do que se gera ao girar). As relações entre coordenadas polares e cartesianas são
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.
Substituindo r=\sin\theta obtemos
x=\sin\theta\cos\theta,\qquad y=\sin^2\theta.
Agora eliminamos \theta para achar a equação em x,y. Note que
y=\sin^2\theta.
Também
x^2+y^2 = r^2 = (\sin\theta)^2 = \sin^2\theta = y.
Portanto
x^2 + y^2 = y.
Rearranjando,
x^2 + y^2 - y = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + \bigl(y-\tfrac{1}{2}\bigr)^2 = \tfrac{1}{4}.
Conclusão: a curva é um círculo no plano z=0 com centro \bigl(0,\tfrac{1}{2}\bigr) e raio R=\tfrac{1}{2}. (Esse círculo toca a origem.)

Passo 3

Interpretando o eixo de rotação: a reta \theta=\pi/2 é exatamente o eixo y (reta que passa pela origem e aponta para y). Ao girar o círculo do passo anterior em torno do eixo y, cada ponto (x,y,0) do círculo descreve uma circunferência em 3D cujo raio é a distância ao eixo y, isto é \sqrt{x^2+z^2} no espaço. Algebricamente, a equação do círculo em z=0 é
x^2 + \bigl(y-\tfrac{1}{2}\bigr)^2 = \tfrac{1}{4},\quad z=0.
Ao permitir x girar em torno do eixo y (substituir x^2 por x^2+z^2) obtemos a superfície
x^2 + z^2 + \bigl(y-\tfrac{1}{2}\bigr)^2 = \tfrac{1}{4},
que é a equação de uma esfera de raio R=\tfrac{1}{2} com centro em \bigl(0,\tfrac{1}{2},0\bigr). Logo o sólido gerado é uma esfera de raio 1/2.

Passo 4

Fórmula conhecida (e fácil de entender): a área da superfície de uma esfera de raio R é
\text{Área} = 4\pi R^2.Á
Aqui R=\tfrac{1}{2}, então
\text{Área} = 4\pi\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = 4\pi\cdot\tfrac{1}{4}=\pi.Á
Portanto a rotação do círculo em torno do eixo \theta=\pi/2 gera uma esfera com área \pi.

Passo 5

Vou fazer uma verificação usando a fórmula de área de superfície por revolução (para você ver o cálculo e aprender a usar a fórmula na prova). Para uma curva parametrizada por \theta\mapsto (x(\theta),y(\theta)) que gira em torno do eixo y, a área gerada por um trecho da curva (assumindo x\ge0 nesse trecho) é
S=2\pi\int x(\theta)\,\sqrt{\bigl(x'(\theta)\bigr)^2+\bigl(y'(\theta)\bigr)^2}\,d\theta.
No nosso caso usamos a parametrização polar convertida:
x(\theta)=\sin\theta\cos\theta=\tfrac{1}{2}\sin2\theta,\qquad y(\theta)=\sin^2\theta.
Derivando:
x'(\theta)=\cos2\theta,\qquad y'(\theta)=\sin2\theta.
Logo
\sqrt{(x')^2+(y')^2}=\sqrt{\cos^2 2\theta+\sin^2 2\theta}=1,
ou seja o elemento de arco é ds=d\theta. Note que x(\theta) é positivo para \theta\in(0,\tfrac{\pi}{2}) e negativo para \theta\in(\tfrac{\pi}{2},\pi). Se integrássemos de 0 a \pi usando x sem cuidado iríamos contar a mesma superfície duas vezes porque a metade direita do círculo ( x\ge0) ao girar já produz a esfera inteira; a metade esquerda ( x\le0) gera a mesma esfera novamente. Portanto devemos integrar apenas a metade com x\ge0, isto é \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}]. Fazendo isso:
S=2\pi\int_{0}^{\pi/2} x(\theta)\,d\theta =2\pi\int_{0}^{\pi/2}\tfrac{1}{2}\sin2\theta\,d\theta =\pi\int_{0}^{\pi/2}\sin2\theta\,d\theta.
Calcule a integral:
\int_{0}^{\pi/2}\sin2\theta\,d\theta=\left[-\tfrac{1}{2}\cos2\theta\right]_{0}^{\pi/2} =-\tfrac{1}{2}(\cos\pi-\cos0)=-\tfrac{1}{2}(-1-1)=1.
Portanto S=\pi, mesma resposta que obtivemos geometricamente. Beleza — tanto a intuição geométrica quanto a conta integral batem.

Resposta

\pi

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