Encontre as áreas das superfícies geradas pela rotação das curvas polares em torno do eixo indicado:
, eixo
Passo 1
O enunciado dá a curva polar
e pede a área da superfície gerada ao girar essa curva em torno do eixo
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A curva está em coordenadas polares e é dada por
para . - O eixo de rotação é a reta que, no plano, tem direção
(essa reta é o eixo no sistema cartesiano). - Queremos a área da superfície gerada pela rotação dessa curva em torno desse eixo.
Passo 2
Primeiro vamos entender geometricamente a curva passando para coordenadas cartesianas (isso facilita muito a intuição do que se gera ao girar). As relações entre coordenadas polares e cartesianas são
Substituindo
obtemos
Agora eliminamos
para achar a equação em
. Note que
Também
Portanto
Rearranjando,
Conclusão: a curva é um círculo no plano
com centro
e raio
. (Esse círculo toca a origem.)
Passo 3
Interpretando o eixo de rotação: a reta
é exatamente o eixo
(reta que passa pela origem e aponta para
). Ao girar o círculo do passo anterior em torno do eixo
, cada ponto
do círculo descreve uma circunferência em 3D cujo raio é a distância ao eixo
, isto é
no espaço. Algebricamente, a equação do círculo em
é
Ao permitir
girar em torno do eixo
(substituir
por
) obtemos a superfície
que é a equação de uma esfera de raio
com centro em
. Logo o sólido gerado é uma esfera de raio
.
Passo 4
Fórmula conhecida (e fácil de entender): a área da superfície de uma esfera de raio
é
Aqui
, então
Portanto a rotação do círculo em torno do eixo
gera uma esfera com área
.
Passo 5
Vou fazer uma verificação usando a fórmula de área de superfície por revolução (para você ver o cálculo e aprender a usar a fórmula na prova). Para uma curva parametrizada por
que gira em torno do eixo
, a área gerada por um trecho da curva (assumindo
nesse trecho) é
No nosso caso usamos a parametrização polar convertida:
Derivando:
Logo
ou seja o elemento de arco é
. Note que
é positivo para
e negativo para
. Se integrássemos de
a
usando
sem cuidado iríamos contar a mesma superfície duas vezes porque a metade direita do círculo (
) ao girar já produz a esfera inteira; a metade esquerda (
) gera a mesma esfera novamente. Portanto devemos integrar apenas a metade com
, isto é
. Fazendo isso:
Calcule a integral:
Portanto
, mesma resposta que obtivemos geometricamente. Beleza — tanto a intuição geométrica quanto a conta integral batem.