Para as parábolas dadas, encontre vértice, foco e diretriz:
x^{2}+4 x+4 y=0
Passo 1
O enunciado dá a parábola
x^{2}+4x+4y=0
e pede para encontrar o vértice, o foco e a diretriz.
Informações relevantes que temos: a equação explícita da cônica (parábola) e que precisamos identificar seus elementos geométricos: vértice (h,k), foco e equação da diretriz.
Passo 2
Vamos pôr a equação na forma padrão de uma parábola vertical, completando o quadrado em x.
Começamos isolando os termos em x:
x^{2}+4x=-4y.
Para completar o quadrado em x^{2}+4x usamos a ideia: se temos x^{2}+bx, adicionamos \left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}. Aqui b=4, então \left(\dfrac{4}{2}\right)^{2}=4. Adicionamos 4 aos dois lados:
x^{2}+4x+4=-4y+4.
Agora o lado esquerdo é um quadrado perfeito:
(x+2)^{2}=-4y+4.
Reescrevendo o lado direito:
(x+2)^{2}=-4(y-1).
Passo 3
Recordando a forma padrão de uma parábola com eixo vertical:
(x-h)^{2}=4p(y-k),
onde:
(h,k) é o vértice,
p é a distância do vértice até o foco (se p>0 abre para cima; se p<0 abre para baixo),
o foco é (h,k+p),
a diretriz é a reta y=k-p.
Comparando com nossa equação
(x+2)^{2}=-4(y-1)
vemos que (x+2)^{2}=(x-(-2))^{2}, logo h=-2 e k=1. Também 4p=-4, portanto
p=-1.
Assim o vértice é
(-2,1).
Passo 4
Com h=-2, k=1 e p=-1 calculamos foco e diretriz:
Foco:
(h,k+p)=(-2,\;1+(-1)) = (-2,0).
Diretriz:
y=k-p = 1-(-1)=2,
ou seja, a diretriz é a reta \;y=2.
Observação geométrica: como p=-1 a parábola abre para baixo — o foco fica abaixo do vértice e a diretriz acima, consistente com os resultados.
Passo 5
Vamos verificar com um ponto qualquer da parábola que a definição geométrica se mantém (distância ao foco = distância à diretriz).