Para as parábolas dadas, encontre vértice, foco e diretriz:
x^{2}+4 x+4 y=0

Passo 1

O enunciado dá a parábola
x^{2}+4x+4y=0
e pede para encontrar o vértice, o foco e a diretriz.
Informações relevantes que temos: a equação explícita da cônica (parábola) e que precisamos identificar seus elementos geométricos: vértice (h,k), foco e equação da diretriz.

Passo 2

Vamos pôr a equação na forma padrão de uma parábola vertical, completando o quadrado em x.
Começamos isolando os termos em x:
x^{2}+4x=-4y.
Para completar o quadrado em x^{2}+4x usamos a ideia: se temos x^{2}+bx, adicionamos \left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}. Aqui b=4, então \left(\dfrac{4}{2}\right)^{2}=4. Adicionamos 4 aos dois lados:
x^{2}+4x+4=-4y+4.
Agora o lado esquerdo é um quadrado perfeito:
(x+2)^{2}=-4y+4.
Reescrevendo o lado direito:
(x+2)^{2}=-4(y-1).

Passo 3

Recordando a forma padrão de uma parábola com eixo vertical:
(x-h)^{2}=4p(y-k),
onde:
  • (h,k) é o vértice,
  • p é a distância do vértice até o foco (se p>0 abre para cima; se p<0 abre para baixo),
  • o foco é (h,k+p),
  • a diretriz é a reta y=k-p.
Comparando com nossa equação
(x+2)^{2}=-4(y-1)
vemos que (x+2)^{2}=(x-(-2))^{2}, logo h=-2 e k=1. Também 4p=-4, portanto
p=-1.
Assim o vértice é
(-2,1).

Passo 4

Com h=-2, k=1 e p=-1 calculamos foco e diretriz:
Foco:
(h,k+p)=(-2,\;1+(-1)) = (-2,0).
Diretriz:
y=k-p = 1-(-1)=2,
ou seja, a diretriz é a reta \;y=2.
Observação geométrica: como p=-1 a parábola abre para baixo — o foco fica abaixo do vértice e a diretriz acima, consistente com os resultados.

Passo 5

Vamos verificar com um ponto qualquer da parábola que a definição geométrica se mantém (distância ao foco = distância à diretriz).
Escolho x=-1. Da forma (x+2)^{2}=-4(y-1) obtemos:
( -1+2 )^{2} = -4(y-1)\quad\Rightarrow\quad 1=-4y+4\quad\Rightarrow\quad y=\frac{3}{4}.
Distância do ponto (-1,\tfrac{3}{4}) ao foco (-2,0):
\sqrt{(-1+2)^{2}+\left(\tfrac{3}{4}-0\right)^{2}} = \sqrt{1+\left(\tfrac{3}{4}\right)^{2}} = \sqrt{1+\tfrac{9}{16}} = \sqrt{\tfrac{25}{16}} = \tfrac{5}{4}.
Distância vertical do mesmo ponto à diretriz y=2:
\left|\tfrac{3}{4}-2\right|=\left|-\tfrac{5}{4}\right|=\tfrac{5}{4}.
As distâncias coincidem, então está consistente com a definição de parábola.

Resposta

Vértice: (-2,1)
Foco: (-2,0)
Diretriz: y=2

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