Encontre as assíntotas do gráfico de cada uma das funções a seguir, quando existir. Encontre também os pontos críticos e os pontos de inflexão das funções, caso existam. Faça um estudo do crescimento e da concavidade de todos os pontos da função e faça o esboço do gráfico.
f(x)=3 x^5-5 x^4;

Passo 1

A questão pede análise completa da função f(x)=3 x^{5}–5 x^{4}: encontrar assíntotas, pontos críticos, pontos de inflexão, estudar crescimento e concavidade e esboçar o gráfico. Vamos usar derivadas para identificar extremos e mudança de concavidade.

Passo 2

Como f é um polinômio de grau 5, ela é definida em todo
R, sem descontinuidades, logo não há assíntotas verticais. Para polinômios não existem assíntotas horizontais ou oblíquas (a própria função é de grau maior que 1). Portanto, não há assíntotas.

Passo 3

Calculamos a primeira derivada para encontrar pontos críticos. Temos
f'(x)=ddx(3x^5-5x^4)=15x^4-20x^3=5x^3(3x-4)
Os pontos onde f’(x)=0 são x=0 (multiplicidade 3) e x=4/3.

Passo 4

Estudamos o sinal de f’ para classificar extremos. Para x<0, f’(x)>0 (x^3<0 e 3x-4<0 → produto >0), entre 0 e 4/3, f’(x)<0, e para x>4/3, f’(x)>0. Logo f cresce em (–∞,0), decresce em (0,4/3) e cresce em (4/3,∞). Assim em x=0 temos máximo local f(0)=0, e em x=4/3 temos mínimo local
fl(tfrac43r)=3l(tfrac43r)^5-5l(tfrac43r)^4=-tfrac25681

Passo 5

Para concavidade, calculamos a segunda derivada:
f''(x)=ddx(15x^4-20x^3)=60x^3-60x^2=60x^2(x-1)
Zeramos f’’ em x=0 (mult 2) e x=1.

Passo 6

Analisando o sinal de f’’: para x<1, x^2>0 e x-1<0 → f’’<0 (côncavo para baixo). Para x>1, x^2>0 e x-1>0 → f’’>0 (côncavo para cima). Em x=0 não muda o sinal (continua negativo), então não é ponto de inflexão. Em x=1 f’’ muda de – para +, daí há ponto de inflexão em x=1 com f(1)=3–5=–2.

Passo 7

Resumo do esboço: cresce até (0,0) onde faz máximo local, decresce até (4/3,–256/81) onde faz mínimo local, depois cresce. É côncavo para baixo até x=1, depois côncavo para cima. Não há assíntotas.

Passo 8

Foi assim que chegamos ao gráfico, com máximo em (0,0), mínimo em (4/3,–256/81) e ponto de inflexão em (1,–2), indicando as regiões de crescimento/decrescimento e concavidade.

Resposta

Assíntotas: não há (polinômio definido em todo R).
Pontos críticos: x=0 ⇒ máximo local em (0,0); x=4/3 ⇒ mínimo local em (4/3,-256/81).
Ponto de inflexão: em x=1, com f(1)=–2, isto é (1,–2).
Crescimento/decrescimento: cresce em (–∞,0) e (4/3,∞), decresce em (0,4/3).
Concavidade: côncavo para baixo em (–∞,1), côncavo para cima em (1,∞).
Esboço: curva sobe até (0,0), desce até (4/3,–256/81), depois sobe, mudando de concavidade em (1,–2).

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