Encontre as assíntotas do gráfico de cada uma das funções a seguir, quando existir. Encontre também os pontos críticos e os pontos de inflexão das funções, caso existam. Faça um estudo do crescimento e da concavidade de todos os pontos da função e faça o esboço do gráfico.
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Passo 1
A questão pede análise completa da função f(x)=3 x^{5}–5 x^{4}: encontrar assíntotas, pontos críticos, pontos de inflexão, estudar crescimento e concavidade e esboçar o gráfico. Vamos usar derivadas para identificar extremos e mudança de concavidade.
Passo 2
Como f é um polinômio de grau 5, ela é definida em todo
R, sem descontinuidades, logo não há assíntotas verticais. Para polinômios não existem assíntotas horizontais ou oblíquas (a própria função é de grau maior que 1). Portanto, não há assíntotas.
R, sem descontinuidades, logo não há assíntotas verticais. Para polinômios não existem assíntotas horizontais ou oblíquas (a própria função é de grau maior que 1). Portanto, não há assíntotas.
Passo 3
Calculamos a primeira derivada para encontrar pontos críticos. Temos
Os pontos onde f’(x)=0 são x=0 (multiplicidade 3) e x=4/3.
Passo 4
Estudamos o sinal de f’ para classificar extremos. Para x<0, f’(x)>0 (x^3<0 e 3x-4<0 → produto >0), entre 0 e 4/3, f’(x)<0, e para x>4/3, f’(x)>0. Logo f cresce em (–∞,0), decresce em (0,4/3) e cresce em (4/3,∞). Assim em x=0 temos máximo local f(0)=0, e em x=4/3 temos mínimo local
Passo 5
Para concavidade, calculamos a segunda derivada:
Zeramos f’’ em x=0 (mult 2) e x=1.
Passo 6
Analisando o sinal de f’’: para x<1, x^2>0 e x-1<0 → f’’<0 (côncavo para baixo). Para x>1, x^2>0 e x-1>0 → f’’>0 (côncavo para cima). Em x=0 não muda o sinal (continua negativo), então não é ponto de inflexão. Em x=1 f’’ muda de – para +, daí há ponto de inflexão em x=1 com f(1)=3–5=–2.
Passo 7
Resumo do esboço: cresce até (0,0) onde faz máximo local, decresce até (4/3,–256/81) onde faz mínimo local, depois cresce. É côncavo para baixo até x=1, depois côncavo para cima. Não há assíntotas.
Passo 8
Foi assim que chegamos ao gráfico, com máximo em (0,0), mínimo em (4/3,–256/81) e ponto de inflexão em (1,–2), indicando as regiões de crescimento/decrescimento e concavidade.
Resposta
Assíntotas: não há (polinômio definido em todo
).
Pontos críticos: x=0 ⇒ máximo local em (0,0); x=4/3 ⇒ mínimo local em .
Ponto de inflexão: em x=1, com f(1)=–2, isto é (1,–2).
Crescimento/decrescimento: cresce em (–∞,0) e (4/3,∞), decresce em (0,4/3).
Concavidade: côncavo para baixo em (–∞,1), côncavo para cima em (1,∞).
Esboço: curva sobe até (0,0), desce até (4/3,–256/81), depois sobe, mudando de concavidade em (1,–2).
Pontos críticos: x=0 ⇒ máximo local em (0,0); x=4/3 ⇒ mínimo local em
Ponto de inflexão: em x=1, com f(1)=–2, isto é (1,–2).
Crescimento/decrescimento: cresce em (–∞,0) e (4/3,∞), decresce em (0,4/3).
Concavidade: côncavo para baixo em (–∞,1), côncavo para cima em (1,∞).
Esboço: curva sobe até (0,0), desce até (4/3,–256/81), depois sobe, mudando de concavidade em (1,–2).